Première · Probabilités conditionnelles
Une branche porte une probabilité qu'on lit. Un chemin représente une intersection dont on calcule la probabilité. Cliquez sur l'arbre : une branche, un nœud, ou une extrémité.
Mode d'emploi
Cliquez sur une valeur portée par une branche pour savoir quelle probabilité elle représente.
Cliquez sur une extrémité (, …) pour parcourir le chemin et calculer sa probabilité.
Les curseurs modifient l'arbre : les branches complémentaires se recalculent seules.
C'est la distinction la plus importante du chapitre. Une branche se lit, un chemin se calcule.
| Sur l'arbre | Événement | Probabilité | Comment l'obtenir |
|---|---|---|---|
| Branche Ω → A | A | Lecture | |
| Branche A → B | B, en sachant A | Lecture | |
| Chemin Ω → A → B | Produit des branches | ||
| Tous les chemins menant à B | B | Somme des chemins |
Les valeurs ci-dessous suivent les curseurs de l'arbre du haut. Le bouton de chaque carte montre la règle sur l'arbre.
RÈGLE 1 · LES NŒUDS
Les branches issues d'un même nœud ont des probabilités dont la somme vaut 1.
RÈGLE 2 · LES CHEMINS
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
RÈGLE 3 · PROBABILITÉS TOTALES
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (A et forment une partition).
Sachant que A est réalisé, on ne regarde plus tout l'univers : on se restreint à A. La probabilité de B dans ce nouvel univers se note et se lit « probabilité de B sachant A ».
DÉFINITION (avec ≠ 0)
=
équivaut à
= ×
La deuxième forme, c'est la règle du chemin : la formule et l'arbre disent la même chose.
En général ≠ et ≠ .
100 élèves. A : « être en Première » (40 élèves). B : « manger à la cantine ». Suivez les étapes.
Dans un tableau d'effectifs, « sachant A » ou « parmi les A » désigne la ligne (ou la colonne) de A : son total devient le dénominateur. Lycée de 400 élèves ; A : « être en Première », B : « manger à la cantine ».
| Cantine (B) | Pas cantine () | Total | |
|---|---|---|---|
| Première (A) | 120 | 40 | 160 |
| Autres () | 150 | 90 | 240 |
| Total | 270 | 130 | 400 |
Le même lycée en arbre. Chaque branche du 2e niveau se lit dans une ligne du tableau : elle divise par le total de la ligne. Un chemin divise par le total général.
Les cartes « en direct » utilisent l'arbre du haut : modifiez les curseurs et regardez les calculs changer.
PIÈGE N°1
Dans le tableau : = 120160 = 0,75 mais = 120270 ≈ 0,444.
Le numérateur est le même (), le dénominateur change : l'événement qui suit « sachant » est celui qu'on divise.
PIÈGE N°2
Sur l'arbre, est écrit sur une branche. n'est écrit nulle part : on le calcule au bout du chemin.
« Un élève de Première qui mange à la cantine » : . « Un élève de Première mange-t-il à la cantine ? » : .
EN DIRECT · INVERSER L'ARBRE
L'arbre donne , mais pas . Méthode en trois temps :
EN DIRECT · INDÉPENDANCE
A et B sont indépendants lorsque = , c'est-à-dire = × . Sur l'arbre : les deux branches vers B portent la même valeur.
| Dans l'énoncé | Notation | Exemple |
|---|---|---|
| « A et B », « à la fois » | La probabilité qu'un élève soit en Première et mange à la cantine | |
| « sachant A », « parmi les A », « si A » | Parmi les élèves de Première, 75 % mangent à la cantine | |
| « un A … » suivi d'une question sur B | Un élève de Première mange à la cantine avec une probabilité 0,75 | |
| « A ou B » | = + − | |
| « non A », « ne … pas » | = 1 − |
Questions générées au hasard. Réponse décimale (0,42), fractionnaire (21/50) ou en pourcentage (42 %).