1 La méthode de l'escalier
Principe : Lorsqu'une suite est définie par $U_{n+1}=f(U_n)$, on représente ses termes grâce à deux courbes : la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $y=x$.
Construction pas à pas
0
Placer $U_0$ sur l'axe des abscisses
$U_0$ est donné dans l'énoncé. On le repère sur $(Ox)$.
1
Segment vertical jusqu'à $\mathcal{C}_f$
On monte de $(U_0,0)$ jusqu'au point $(U_0,f(U_0))$ sur la courbe. La hauteur atteinte est $U_1=f(U_0)$.
2
Segment horizontal jusqu'à $y=x$
On se déplace horizontalement jusqu'au point $(U_1,U_1)$ sur la droite $y=x$.
3
Lire $U_1$ sur l'axe des abscisses
On projette verticalement depuis $(U_1,U_1)$ sur $y=x$ jusqu'à l'axe $(Ox)$ pour lire $U_1$. On répète ensuite depuis $U_1$.
💡 Point fixe de $f$
La valeur $\ell$ telle que $f(\ell)=\ell$ — intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $y=x$. Si la suite converge, sa limite est ce point fixe.
Démonstration interactive — $U_{n+1}=\sqrt{U_n+2}$, $U_0=9$
Courbe $\mathcal{C}_f$
Droite $y=x$
Escalier
Lecture $U_n$ sur l'axe