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Une fourmi se déplace sur une piste circulaire de centre \(O\), dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Elle part du point \(D\) et s'arrête au point \(A\).
Question. Quelles grandeurs géométriques interviennent dans ce déplacement ? Lesquelles intéressent la fourmi qui veut savoir combien elle a marché ?
1. Combien de chemin la fourmi a-t-elle parcouru ?
Pour chaque angle : fraction de tour, trajet, puis valeur exacte de la longueur \(L\) de l'arc \(\overset{\frown}{DA}\) (en m).
Aide : un tour complet correspond au périmètre du cercle, \(2\pi R\). Pour une fraction de tour, on prend la même fraction du périmètre.
2. Un quotient remarquable
À partir du tableau précédent, calculer et simplifier le quotient \(\dfrac{L}{R}\).
Je retiens
On appelle mesure en radians de l'angle \(\widehat{DOA}\) le nombre \(\alpha=\dfrac{L}{R}\), où \(L\) est la longueur de l'arc intercepté et \(R\) le rayon.Un tour complet mesure \(360^\circ=\) \(2\pi\) rad, un demi-tour \(180^\circ=\) \(\pi\) rad.
1. Conversions
Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles : \(180^\circ \longleftrightarrow \pi\) rad. Compléter le tableau.
Je retiens
Degrés \(\to\) radians : \(\alpha=\) \(\dfrac{\pi\times x}{180}\) Radians \(\to\) degrés : \(x=\) \(\dfrac{180\times\alpha}{\pi}\)2. Construire les angles remarquables à la règle et au compas
Sur le cercle trigonométrique, on construit sans rapporteur les points \(P\) tels que \(\widehat{IOP}\) mesure \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{6}\) ou \(\dfrac{\pi}{4}\). Les instruments se manipulent à la souris ; le bouton « Voir la correction » de l'outil anime la construction du point \(P\).
- Pour l'angle \(\dfrac{\pi}{3}\) : quelle est la nature du triangle \(OIP\) ? En déduire la mesure de \(\widehat{IOP}\).
\(OI=OP\) (rayons) et \(IP=OI\) (écartement du compas) : \(OIP\) est équilatéral, donc \(\widehat{IOP}=60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\).
- Pour l'angle \(\dfrac{\pi}{6}\) : quelle est la nature du triangle \(OJP\) ? En déduire \(\widehat{JOP}\), puis \(\widehat{IOP}\).
\(OJ=OP=JP\) : \(OJP\) est équilatéral, donc \(\widehat{JOP}=\dfrac{\pi}{3}\) et \(\widehat{IOP}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\).
- Pour l'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) : quelle est la nature du quadrilatère \(OIKJ\) ? En déduire \(\widehat{IOP}\).
\(OI=IK=KJ=JO\) et l'angle en \(O\) est droit : \(OIKJ\) est un carré. Sa diagonale \((OK)\) partage l'angle droit en deux : \(\widehat{IOP}=\dfrac12\times\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}\).
3. Convertir en utilisant les angles remarquables
L'angle droit (\(90^\circ\)) et le demi-tour (\(180^\circ\)) se convertissent directement. Les autres angles sont des multiples de \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) ou \(90^\circ\) : écrire cette décomposition, puis en déduire la mesure en radians, comme dans l'exemple.
D'autres décompositions sont possibles : \(120^\circ=4\times 30^\circ\), \(270^\circ=9\times 30^\circ\)…
4. Placer les angles sur le cercle
En utilisant les constructions de la question 2 et les symétries du cercle, placer les points \(P\) tels que \(\widehat{IOP}\) a la mesure indiquée.
Je retiens : les valeurs à connaître
math.sin) travaillent en radians.La fourmi part de \(D\) et tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, éventuellement en faisant plusieurs tours. On prend \(R\) quelconque.
- Que constate-t-on pour les points d'arrivée \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ? Et pour \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) ?
\(A_1=A_2=A_3\) et \(B_1=B_2=B_3\) : faire un tour de plus ne change pas le point d'arrivée.
- Quel écart, en degrés puis en radians, y a-t-il entre deux mesures consécutives ?
\(405-45=360^\circ\), c'est-à-dire \(\dfrac{9\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi}{4}=2\pi\) rad : un tour complet.
- Comment obtenir toutes les mesures en degrés à partir de l'une d'elles, \(x\) ?
En ajoutant un nombre entier de tours : \(x+k\times 360^\circ\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
- De même, comment obtenir toutes les mesures en radians à partir de l'une d'elles, \(\alpha\) ?
\(\alpha+k\times 2\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\) (on note aussi \(\alpha+2k\pi\)).
Je retiens : cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,I,\,J)\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre). Comme le rayon vaut \(1\), la longueur d'un arc parcouru est égale à sa mesure en radians.Enroulement de la droite des réels. On place une droite graduée tangente au cercle en \(I\) et on l'enroule autour du cercle : chaque réel \(x\) vient se poser sur un unique point \(M\) du cercle, appelé point image de \(x\). Les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les négatifs dans le sens indirect.
1. Des trajets sur le cercle
Les points \(A, B, \dots, H\) partagent le cercle trigonométrique, d'origine \(A\), en huit arcs égaux.
- Quelle est la longueur de l'arc \(\overset{\frown}{AB}\) ? Le cercle a pour longueur \(2\pi\times 1=2\pi\), partagé en 8 : \(\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}\).
- Un coureur part de \(D\) et parcourt \(\dfrac{\pi}{2}\) dans le sens direct. Où arrive-t-il ?
\(\dfrac{\pi}{2}=2\times\dfrac{\pi}{4}\) : deux arcs après \(D\), il arrive en \(F\).
Notation. Le trajet de \(D\) vers \(A\) définit l'angle orienté \((\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA})\). Sa mesure en radians est positive si le trajet se fait dans le sens direct (\(+\)), négative sinon (\(-\)).
La dernière ligne (mesure principale) se complète avec la partie 5.
Dans les tableaux précédents, deux trajets permettent d'aller de \(B\) à \(E\). En trouver trois autres.
Toute réponse de la forme \(\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\) convient.
- Pressée, la fourmi veut aller de \(B\) à \(E\) par le chemin le plus court, en choisissant le bon sens. Parmi les trajets qui définissent l'angle \((\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE})\), lequel est le plus court ?
Le trajet de longueur \(\dfrac{3\pi}{4}\) dans le sens direct : mesure \(\dfrac{3\pi}{4}\). C'est la mesure principale de l'angle \((\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE})\).
- Revenir aux tableaux de la partie 4 et compléter la dernière ligne.
- Combien y a-t-il de trajets qui définissent l'angle \((\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE})\) ?
Une infinité : on peut ajouter autant de tours que l'on veut, dans un sens ou dans l'autre.
- Comment, à partir de la mesure principale, obtenir toutes les autres mesures ?
En ajoutant \(2k\pi\) : les mesures sont les \(\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
- Défi. Le chemin le plus court entre deux points diamétralement opposés (par exemple de \(A\) à \(E\)) n'est pas unique. Quelle convention propose-t-on ?
Les deux trajets mesurent \(\pi\) et \(-\pi\) ; par convention on choisit la mesure dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), donc \(\pi\).
Je retiens : mesures d'un angle orienté
- Si \(\alpha\) est une mesure d'un angle orienté, toutes ses mesures sont les nombres \(\alpha+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb{Z}\).
- La mesure principale est l'unique mesure appartenant à l'intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\). Elle correspond au chemin le plus court.
- Deux réels \(x\) et \(x'\) ont le même point image sur le cercle trigonométrique si et seulement si \(x'=x+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Trouver la mesure principale d'une mesure donnée
Huit questions tirées au hasard. Saisir les mesures en radians avec pi (ex. 3pi/4).