Étude des Fonctions du Second Degré

Rappels de cours

Étape 1 : Dérivée

Soit $ f(x) = ax^2 + bx + c $.

1. Calculer la dérivée
$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.
On calcule la fonction dérivée $ f' $ : \[ f'(x) = 2ax + b \]

La dérivée $ f'(x) $ est une fonction affine.

Étape 2 : Zéro

On cherche quand la dérivée s'annule :

2. Résolution de l'équation
\[ f'(x) = 0 \iff 2ax + b = 0 \iff x = \mathbf{-\frac{b}{2a}} \]

C'est l'abscisse du sommet de la parabole.

Étape 3 : Signe

Comment remplir la ligne du signe de $ f'(x) $ ?

Règle des fonctions affines :
Le signe après le zéro est le signe de $ 2a $ (le coefficient directeur).

Si $ a > 0 $ : on met un + à droite du zéro.
Si $ a < 0 $ : on met un $-$ à droite du zéro.

Étape 4 : Bilan

Le signe de la dérivée donne les variations :

$ f'(x) $ est NÉGATIVE ($-$)
$ \implies f $ est DÉCROISSANTE ($\searrow$)

$ f'(x) $ est POSITIVE ($+$)
$ \implies f $ est CROISSANTE ($\nearrow$)

Exemple 1

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f(x) = x^2 - 6x + 8 $

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.

On dérive terme à terme :
\[ f'(x) = 2x - 6 \]

On cherche la valeur qui annule la dérivée :
\[ f'(x) = 0 \iff 2x - 6 = 0 \iff 2x = 6 \iff x = 3 \]

Étape 3 : Signe de la dérivée

Le coefficient directeur est $ 2 $. Il est positif ($ > 0 $).
On place donc le signe $+$ à droite du zéro.

$ x $	$ -\infty $		$ 3 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ - $	0	$ + $

Étape 4 & 5 : Tableau complet et Extremum

On calcule l'image du sommet (pour $ x=3 $) :
\[ f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \]

$ x $	$ -\infty $		$ 3 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ - $	0	$ + $
$ f $	$ +\infty $	$ \searrow $	$ -1 $	$ \nearrow $	$ +\infty $

Exemple 2

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f(x) = -x^2 + 4x + 5 $

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.

\[ f'(x) = -2x + 4 \]

\[ f'(x) = 0 \iff -2x + 4 = 0 \iff -2x = -4 \iff x = 2 \]

Étape 3 : Signe de la dérivée

Le coefficient directeur est $ -2 $. Il est négatif ($ < 0 $).
On place le signe $-$ à droite du zéro.

Étape 4 & 5 : Tableau complet

Image du sommet : $ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 $

$ x $	$ -\infty $		$ 2 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ + $	0	$ - $
$ f $	$ -\infty $	$ \nearrow $	$ 9 $	$ \searrow $	$ -\infty $

Exemple 3

$ f(x) = 2x^2 + 8x - 3 $

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.

\[ f'(x) = 4x + 8 \]

\[ f'(x) = 0 \iff 4x + 8 = 0 \iff 4x = -8 \iff x = -2 \]

Étape 3 : Signe de la dérivée

Coefficient directeur $ 4 > 0 $. Signe $+$ à droite.

Étape 4 & 5 : Tableau complet

$ f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) - 3 = 8 - 16 - 3 = -11 $

$ x $	$ -\infty $		$ -2 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ - $	0	$ + $
$ f $	$ +\infty $	$ \searrow $	$ -11 $	$ \nearrow $	$ +\infty $

Exemple 4

$ f(x) = -3x^2 - 12x + 1 $

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.

\[ f'(x) = -6x - 12 \]

\[ f'(x) = 0 \iff -6x - 12 = 0 \iff -6x = 12 \iff x = -2 \]

Étape 3 : Signe de la dérivée

Coefficient directeur $ -6 < 0 $. Signe $-$ à droite.

Étape 4 & 5 : Tableau complet

$ f(-2) = -3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -12 + 24 + 1 = 13 $

$ x $	$ -\infty $		$ -2 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ + $	0	$ - $
$ f $	$ -\infty $	$ \nearrow $	$ 13 $	$ \searrow $	$ -\infty $

Exemple 5

$ f(x) = x^2 + 2x - 8 $

Étape 1 & 2

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.

\[ f'(x) = 2x + 2 \quad \implies \quad f'(x) = 0 \iff 2x + 2 = 0 \iff x = -1 \]

Étape 3 : Signe

Coefficient $ 2 > 0 \implies $ signe $+$ à droite.

Étape 4 & 5 : Tableau

$ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 $

$ x $	$ -\infty $		$ -1 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ - $	0	$ + $
$ f $	$ +\infty $	$ \searrow $	$ -9 $	$ \nearrow $	$ +\infty $

Exemple 6

$ f(x) = 0{,}05x^2 + 10x - 7 $

Étape 1 & 2

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.

\[ f'(x) = 0{,}1x + 10 \quad \implies \quad f'(x) = 0 \iff 0{,}1x = -10 \iff x = -100 \]

Étape 3 : Signe

Coefficient $ 0{,}1 > 0 \implies $ signe $+$ à droite.

Étape 4 & 5 : Tableau

$ f(-100) = 0{,}05(-100)^2 + 10(-100) - 7 = 500 - 1000 - 7 = -507 $

$ x $	$ -\infty $		$ -100 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ - $	0	$ + $
$ f $	$ +\infty $	$ \searrow $	$ -507 $	$ \nearrow $	$ +\infty $

Exemples 7 et 8

Exemple 7 : $ f(x) = 3x^2 - 3x + 1 $

1) $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.
$ f'(x) = 6x - 3 $

2) S'annule en $ x = 0{,}5 $ | 3) $ a = 6 > 0 $. Min = $ 0{,}25 $.

$ x $	$ 0 $		$ 0{,}5 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ - $	0	$ + $
$ f $	$ 2 $	$ \searrow $	$ 0{,}25 $	$ \nearrow $	$ +\infty $

Exemple 8 : $ f(x) = -0{,}5x^2 - x + 4 $

1) $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.
$ f'(x) = -x - 1 $

2) S'annule en $ x = -1 $ | 3) $ a = -1 < 0 $. Max = $ 4{,}5 $.

$ x $	$ -\infty $		$ -1 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ + $	0	$ - $
$ f $	$ -\infty $	$ \nearrow $	$ 4{,}5 $	$ \searrow $	$ -\infty $

Exemple 9 : Problème (Balistique)

On lance une balle vers le haut depuis une hauteur de 2 m. Sa hauteur en fonction du temps est :
\[ \forall x \in [0;+\infty[ \quad : \quad f(x) = -5x^2 + 10x + 2 \]

Correction :

1) $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.
$ f'(x) = -10x + 10 $

2) $ f'(x) = 0 \iff -10x + 10 = 0 \iff x = 1 $
3) Coefficient directeur $ -10 < 0 $ donc maximum pour $ x=1 $.

La balle atteint sa hauteur maximale ($ f(1) = 7 $ mètres) après 1 seconde.

$ x $	$ 0 $		$ 1 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ + $	0	$ - $
$ f $	$2 $	$ \nearrow $	$ 7 $	$ \searrow $	$ -\infty $

Exemple 10 : Problème (Économie)

Le bénéfice d'une entreprise en fonction du nombre $ x $ d'objets vendus est :
\[ \forall x \in [0;+\infty[ \quad : \quad f(x) = -x^2 + 400x - 5000 \]

Correction :

1) $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme polynôme.
$ f'(x) = -2x + 400 $

2) $ f'(x) = 0 \iff -2x + 400 = 0 \iff x = 200 $
3) Maximum pour $ x=200 $.

Il faut vendre 200 objets pour obtenir le bénéfice maximal de $ 35000 $ €.

$ x $	$ 0 $		$ 200 $		$ +\infty $
$ f'(x) $		$ + $	0	$ - $
$ f $	$ -5000 $	$ \nearrow $	$ 35000 $	$ \searrow $	$ -\infty $

\( x \)	\( -\infty \)		\( 3 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( - \)	0	\( + \)

\( x \)	\( -\infty \)		\( 3 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( - \)	0	\( + \)
\( f \)	\( +\infty \)	\( \searrow \)	\( -1 \)	\( \nearrow \)	\( +\infty \)

\( x \)	\( -\infty \)		\( 2 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( + \)	0	\( - \)
\( f \)	\( -\infty \)	\( \nearrow \)	\( 9 \)	\( \searrow \)	\( -\infty \)

\( x \)	\( -\infty \)		\( -2 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( - \)	0	\( + \)
\( f \)	\( +\infty \)	\( \searrow \)	\( -11 \)	\( \nearrow \)	\( +\infty \)

\( x \)	\( -\infty \)		\( -2 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( + \)	0	\( - \)
\( f \)	\( -\infty \)	\( \nearrow \)	\( 13 \)	\( \searrow \)	\( -\infty \)

Étude des Fonctions du Second Degré

Signe de la dérivée et sens de variation

Méthode pas à pas

Étape 1 : Dérivée

Étape 2 : Zéro

Étape 3 : Signe

Étape 4 : Bilan

Exercices détaillés

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

Étape 3 : Signe de la dérivée

Étape 4 & 5 : Tableau complet et Extremum

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

Étape 3 : Signe de la dérivée

Étape 4 & 5 : Tableau complet

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

Étape 3 : Signe de la dérivée

Étape 4 & 5 : Tableau complet

Étape 1 & 2 : Dérivée et Zéro

Étape 3 : Signe de la dérivée

Étape 4 & 5 : Tableau complet

Étape 1 & 2

Étape 3 : Signe

Étape 4 & 5 : Tableau

Étape 1 & 2

Étape 3 : Signe

Étape 4 & 5 : Tableau

Application directe

Exemple 7 : \( f(x) = 3x^2 - 3x + 1 \)

Exemple 8 : \( f(x) = -0{,}5x^2 - x + 4 \)

\( x \)	\( -\infty \)		\( -100 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( - \)	0	\( + \)
\( f \)	\( +\infty \)	\( \searrow \)	\( -507 \)	\( \nearrow \)	\( +\infty \)

\( x \)	\( 0 \)		\( 0{,}5 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( - \)	0	\( + \)
\( f \)	\( 2 \)	\( \searrow \)	\( 0{,}25 \)	\( \nearrow \)	\( +\infty \)

\( x \)	\( 0 \)		\( 1 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( + \)	0	\( - \)
\( f \)	\(2 \)	\( \nearrow \)	\( 7 \)	\( \searrow \)	\( -\infty \)

\( x \)	\( 0 \)		\( 200 \)		\( +\infty \)
\( f'(x) \)		\( + \)	0	\( - \)
\( f \)	\( -5000 \)	\( \nearrow \)	\( 35000 \)	\( \searrow \)	\( -\infty \)