Le triangle rectangle de départ
Prenons un triangle rectangle quelconque.
Notons x et y les longueurs des deux côtés de l'angle droit,
et z la longueur de l'hypoténuse.
Notre but est de montrer que :
Nous allons construire un grand carré à partir de quatre exemplaires de ce triangle, puis exprimer son aire de deux façons différentes.
Former un grand carré avec 4 triangles identiques
Disposons quatre exemplaires identiques de notre triangle dans les quatre coins d'un grand carré de côté x + y.
Chaque triangle a son angle droit dans un coin du grand carré. Le petit côté x longe un bord, et le grand côté y longe l'autre bord adjacent.
Les quatre hypoténuses z délimitent un quadrilatère central coloré en vert.
Le quadrilatère intérieur est un carré
Le quadrilatère central est un losange (ses 4 côtés valent z). Montrons qu'il possède un angle droit.
Dans notre triangle rectangle : α + β + 90° = 180°, donc :
À chaque sommet du quadrilatère, les angles α, β et γ forment un angle plat (180°) :
Un losange à angle droit est un carré de côté z. ✓
Deux façons d'exprimer la même aire
a) Carré de côté (x + y) :
b) Carré central z² + 4 triangles :
L'aire de chaque triangle vaut xy/2, les quatre font donc 2xy.
Ces deux expressions décrivent la même aire, donc :
La démonstration est complète
En soustrayant 2xy des deux membres :
Le théorème de Pythagore est démontré. Cette preuve par dissection et réarrangement était connue des géomètres chinois et indiens bien avant Pythagore lui-même.