Découverte des vecteurs

Translation — direction, sens, norme — représentants

À la fin, je sais :
  • reconnaître une translation ;
  • décrire un vecteur par sa direction, son sens et sa norme ;
  • reconnaître des vecteurs égaux et des représentants d'un même vecteur ;
  • faire le lien entre vecteurs égaux et parallélogramme ;
  • construire l'image d'un point par une translation.

Navigation : flèches ← → du clavier ou boutons en bas. Les boutons dans les diapositives lancent les animations et affichent le corrigé.

Activité 1 Glisser sans tourner : échauffement

Dans quels cas tous les points de l'objet font-ils exactement le même déplacement (même trajet en ligne droite, même distance) ? Clique sur ta réponse pour chaque situation.

Bilan : le tiroir, la valise et l'ascenseur glissent sans tourner : ce sont des translations. La porte, l'aiguille et la roue tournent : leurs points ne font pas tous le même déplacement.

Activité 1 La maison qui glisse

On fait glisser la maison ABCDE de sorte que le point A arrive en A'.

1. Déplacement de A vers A' :
carreaux vers la droite et carreaux vers le bas.
2. Place B', C', D', E' en faisant subir à B, C, D, E le même déplacement (bouton ②).
3. Trace les flèches de chaque sommet vers son image (③). Que remarques-tu ?
  • Les droites qui les portent sont parallèles ;
  • elles vont toutes dans le même sens ;
  • elles ont toutes la même longueur.
4. ABB'A' est un parallélogramme.

Activité 1 Sans quadrillage : règle et compas

On veut construire l'image P' du point P par la translation qui transforme R en S.

D'après l'activité précédente, RSP'P doit être un parallélogramme.
Construction :
  • arc de centre P et de rayon RS ;
  • arc de centre S et de rayon RP ;
  • P' est le point d'intersection convenable.
Clique sur « Étape suivante ».

Bilan 1 — Translation et vecteur

La translation qui transforme A en A' fait glisser chaque point du plan de la même façon que A. Ce déplacement est décrit par une seule flèche : le vecteur AA'.
  • une direction : celle de la droite (AA') — « sur quelle route ? »
  • un sens : de A vers A' — « dans quel sens de circulation ? »
  • une longueur, appelée norme : la distance AA' — « de combien ? »

On dit que A'B'C'D'E' est l'image de ABCDE par la translation de vecteur AA'.

Activité 2 Direction, sens, longueur : sur l'autoroute

Sur l'autoroute A6, trois voitures : ① va de Paris à Lyon, ② va de Lyon à Paris, ③ va de Paris à Auxerre.
① et ② roulent sur la même route : même direction, mais pas le même sens.
① et ③ ont la même direction et le même sens, mais pas la même distance (longueur).
Une flèche (un vecteur) résume les trois informations : direction, sens, longueur.

Activité 2 Lire un vecteur sur un quadrillage

Clique sur un vecteur pour voir le déplacement « en escalier ».
1. Pour chaque vecteur, décris le déplacement en carreaux.
Exemple : « 3 à droite, 2 en haut ».
…
u : 3 à droite, 2 en haut
v : 3 à droite, 2 en haut
w : 3 à gauche, 2 en bas
t : 6 à droite, 4 en haut
r : 2 à droite, 3 en haut
s : 3 à droite (0 en haut)

Activité 2 Comparer des vecteurs

Le bouton 👁 fait glisser une copie de u à côté de l'autre vecteur pour les comparer.

2. Clique sur les cases pour choisir : oui / non / sans objet.

Comparermême direction ?même sens ?même longueur ?conclusion

Activité 2 Sens, longueurs et phrases à compléter

3. Pourquoi n'a-t-on pas de sens à comparer pour u et r ?

Ils ne sont pas portés par des droites parallèles : on ne compare les sens que de deux vecteurs de même direction.

4. Longueurs avec Pythagore : ‖u‖ = √3² + 2² = √13 et ‖r‖ = √2² + 3² = √13.

Activité 2 Compléter avec des vecteurs de la figure

Le bouton ▶ d'une ligne fait glisser le premier vecteur choisi jusqu'au second pour les comparer.

5. Complète avec des vecteurs de la figure (clique sur les cases pour changer de vecteur) :

Bilan 2 — Comparer des vecteurs

En physique, une force est un vecteur. Le poids d'une pomme de 100 g : direction verticale, sens vers le bas, norme ≈ 1 newton. Sur une carte météo, les flèches du vent donnent direction, sens et vitesse.
  • Deux vecteurs ont la même direction lorsque les droites qui les portent sont parallèles. On ne compare le sens que de deux vecteurs de même direction.
  • La norme du vecteur AB est la longueur AB. On note ‖AB‖ = AB.
  • Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même norme. Sur un quadrillage : même déplacement en carreaux.
  • Dans l'activité 2 : u = v.

Activité 3 Le tapis roulant : des représentants

Toutes les valises avancent de la même façon. Les flèches entre position de départ et position d'arrivée ne partent pas du même endroit… mais elles décrivent le même déplacement : ce sont des représentants du même vecteur.

Activité 3 Vecteurs égaux, représentants

Explore : clique sur deux points pour tracer un vecteur.
…
1. AB correspond au déplacement : 2 à droite, 1 en haut.
Tous les vecteurs égaux à AB : CD, EF, GH
2. Tous les représentants de BA : BA, DC, FE, HG

Activité 3 Même direction ? Même norme ?

3. Un vecteur de même direction que AB et :
  • de même sens, mais de norme deux fois plus grande : IK
  • de sens contraire et de même norme : BA, DC, FE, HG
4. Deux vecteurs de même norme que AB mais pas de même direction.

Indice : AB = √2² + 1² = √5. Quels autres déplacements mesurent √5 ?

IJ, DG, CL, AL, IL, CJ… (déplacements 1 et 2 carreaux)

Activité 3 Vecteurs égaux et parallélogramme

5. On a AB = CD. On trace [AC] et [BD].
  • Nature du quadrilatère ABDC : un parallélogramme
  • ABCD (dans cet ordre) est-il un parallélogramme ? Non : c'est un quadrilatère croisé.
Attention à l'ordre des lettres !
AB = CD ⟺ ABDC est un parallélogramme.
Astuce : on lit « A→B » puis on revient « D→C » en faisant le tour.

Activité 3 Construire une image — le vecteur nul

6. Clique sur le quadrillage pour placer le point M, image de L par la translation de vecteur AB.
Cela signifie que LM = AB, donc ABML est un parallélogramme.
7. Image de A par la translation de vecteur AA : A lui-même.
Ce déplacement « sur place », représenté par AA, BB, CC… est le vecteur nul, noté 0.

Bilan 3 — Représentants, parallélogramme, translation

  • Un vecteur peut être dessiné à partir de n'importe quel point : chaque flèche est un représentant. Si AB = CD = EF, ce sont trois représentants d'un même vecteur u.
  • AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre ; il peut être « aplati »).
  • M' est l'image de M par la translation de vecteur u équivaut à MM' = u.
  • Le vecteur nul 0 = AA = BB = … ; sa norme est 0.
  • BA est l'opposé de AB : même direction, même norme, sens contraire. BA = −AB.

Activité 4 Translations dans un pavage

Carrelages, papiers peints, frises : un même motif est répété en le faisant glisser. Chaque copie est l'image du motif par une translation (pensez aux pavages d'oiseaux et de poissons de M. C. Escher).

Le pavage est formé de parallélogrammes identiques ; sommets de A à T.

1. Quatre représentants de AB (autres que AB) : BC, FG, LM, ST… (16 en tout)
2. Deux vecteurs de même direction que AF mais de sens contraire : FA, QL, HC…

Activité 4 Images de parallélogrammes

3. Image du parallélogramme ABGF par la translation de vecteur AH : HINM
4. Vecteur de la translation qui transforme FGLK en IJON : FI
(ou tout vecteur égal : AD, KN, BE…)
Méthode : l'image d'un sommet s'obtient en faisant, à partir de ce sommet, le même déplacement que celui du vecteur. On peut vérifier sur un seul sommet : A → H, donc B → ?, G → ?, F → ?

Activité 4 Compléter — le fanion

5. Complète avec des lettres du pavage :
AG =    CI = G    D = QH    HM =
6. Image du parallélogramme ABGF (et du fanion) par la translation de vecteur GS : MNSR

Je fais le point : vrai ou faux ?

Ce que je retiens

Un vecteur u décrit un déplacement : celui d'une translation.

Il est caractérisé par une direction, un sens et une norme.

On le représente par des flèches, ses représentants, qui peuvent partir de n'importe quel point.

AB = CD
⟺ ABDC est un parallélogramme
⟺ D est l'image de C par la translation de vecteur AB

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