1Pour le problème 1, on appelle succès la naissance d'une fille. Complétez le tableau, puis répondez : les problèmes 1 et 2 sont-ils équivalents ?
| Problème 1 | Problème 2 | |
|---|---|---|
| Une « épreuve » | ||
| Le « succès » | ||
| Nombre d'épreuves \(n\) | ||
| Nombre de succès observés | ||
| Probabilité « normale » d'un succès |
Les deux problèmes sont-ils équivalents ?
Dans les deux cas, on répète 132 fois une épreuve à deux issues (fille/garçon ; Pile/Face).
Dans les deux cas, on observe 86 succès : 86 filles, 86 fois Pile.
Si l'on admet qu'un enfant a autant de chances de naître fille que garçon (\(p=0{,}5\)), les deux situations suivent le même modèle \(\mathcal{B}(132\,;0{,}5)\), de moyenne \(66\).
Même modèle, même nombre de succès observés : les problèmes sont équivalents.
Nuance : dans la réalité, il naît un peu moins de filles que de garçons (proportion de filles d'environ \(0{,}488\)). On y reviendra à la question 7.
Dans la suite, on répond au problème 2 ; on reviendra au problème 1 à la question 7.
2On suppose que la pièce est équilibrée. \(X\) désigne le nombre d'apparitions de Pile sur 132 lancers.
a) \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\) avec \(n=\) et \(p=\)
b) \(E(X)=\)
c) \(\sigma(X)\approx\) (arrondi au centième)
On répète \(132\) fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « obtenir Pile » a pour probabilité \(p=0{,}5\).
\(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\sim\mathcal{B}(132\,;0{,}5)\).
\(E(X)=n\times p\)
\(E(X)=132\times 0{,}5\)
\(E(X)=66\) : en moyenne, sur un grand nombre de séries de 132 lancers, on obtient 66 fois Pile.
\(V(X)=n\times p\times(1-p)\)
\(V(X)=132\times0{,}5\times(1-0{,}5)\)
\(V(X)=132\times0{,}5\times0{,}5\)
\(V(X)=66\times0{,}5=33\)
\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{33}\approx5{,}74\)
Lancez une pièce équilibrée 132 fois : combien de Pile obtient-on ? Répétez l'expérience pour voir comment le nombre de Pile fluctue d'un échantillon à l'autre.
Chaque bâton compte le nombre d'échantillons (de 132 lancers) ayant donné \(k\) fois Pile. La flèche rouge repère la valeur 86 du problème 2.
On cherche un intervalle \(I\) centré sur \(E(X)=66\), donc de la forme \(I=[66-e\,;66+e]\) avec \(e\) entier, tel que \[P(X\in I)\geqslant0{,}90\quad\Longleftrightarrow\quad P(66-e\leqslant X\leqslant66+e)\geqslant0{,}90.\]
3Écrivez plus simplement l'intervalle \(I=[66-e\,;66+e]\) lorsque \(e=6\) : \(I=[\) \(;\) \(]\). Il contient entiers.
\(66-e=66-6=60\) et \(66+e=66+6=72\).
Donc \(I=[60\,;72]\).
Nombre d'entiers : \(72-60+1=13\) (c'est-à-dire \(2e+1=2\times6+1=13\)).
4Sur la NumWorks : Probabilités → Binomiale, entrez \(n=132\) et \(p=0{,}5\), puis choisissez l'icône « intervalle ». Modifiez les deux bornes pour trouver la plus petite valeur de \(e\) telle que \(P(X\in[66-e\,;66+e])\geqslant0{,}90\).
a) Complétez le tableau (probabilités arrondies au millième).
| \(e\) | \(I=[66-e\,;66+e]\) | \(P(X\in I)\) | \(\geqslant0{,}90\) ? |
|---|
b) La plus petite valeur de \(e\) est \(e=\) .
c) « Dans plus de % des échantillons de 132 lancers, le nombre de Pile est compris entre et ».
\(e=6\) : \(P(60\leqslant X\leqslant72)\approx0{,}742<0{,}90\)
\(e=7\) : \(P(59\leqslant X\leqslant73)\approx0{,}809<0{,}90\)
\(e=8\) : \(P(58\leqslant X\leqslant74)\approx0{,}861<0{,}90\)
\(e=9\) : \(P(57\leqslant X\leqslant75)\approx0{,}902\geqslant0{,}90\) ✔
La plus petite valeur est donc \(e=9\) et \(I=[57\,;75]\).
« Dans plus de 90 % des échantillons de 132 lancers, le nombre de Pile est compris entre 57 et 75. »
5Le nombre d'apparitions de Pile du problème 2 (86) appartient-il à l'intervalle de fluctuation \([57\,;75]\) ?
6Déterminez l'intervalle de fluctuation au seuil de 99 %. Au seuil de 99 %, peut-on rejeter l'hypothèse que la pièce est équilibrée ?
\(I=[\) \(;\) \(]\) On rejette l'hypothèse ?
\(e=14\) : \(P(52\leqslant X\leqslant80)\approx0{,}989<0{,}99\)
\(e=15\) : \(P(51\leqslant X\leqslant81)\approx0{,}993\geqslant0{,}99\) ✔
L'intervalle de fluctuation au seuil de 99 % est \(I=[51\,;81]\).
\(86\notin[51\,;81]\) : on rejette encore l'hypothèse, avec un risque d'erreur inférieur à 1 %.
Comparer les seuils :
Plus le seuil est élevé, plus l'intervalle est large : on se trompe moins souvent en rejetant, mais on rejette plus difficilement.
7Proposez une réponse argumentée au problème 1 (Aamjiwnaag).
Soit \(Y\) le nombre de filles parmi les 132 naissances. Avec \(p=0{,}5\) : \(Y\sim\mathcal{B}(132\,;0{,}5)\), la même loi que \(X\).
L'intervalle de fluctuation au seuil de 99 % est donc encore \([51\,;81]\).
Nombre de filles observé : \(86\), et \(86\notin[51\,;81]\).
Ce nombre élevé de filles n'est vraisemblablement pas dû au hasard de l'échantillonnage : c'est une anomalie (risque d'erreur inférieur à 1 %).
Avec la vraie proportion de filles (\(p\approx0{,}488\)) : \(E(Y)=132\times0{,}488\approx64{,}4\) et l'intervalle au seuil de 99 % devient \([49\,;79]\). Il se décale vers la gauche : la conclusion est encore plus nette.
Attention : la statistique ne prouve pas la cause (la pollution), mais elle justifie une enquête.
8On lance 100 fois une pièce équilibrée. Déterminez l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % du nombre de Pile.
\(I=[\) \(;\) \(]\)
\(Y\sim\mathcal{B}(100\,;0{,}5)\), donc \(E(Y)=100\times0{,}5=50\).
On cherche le plus petit \(e\) tel que \(P(50-e\leqslant Y\leqslant50+e)\geqslant0{,}95\).
\(e=9\) : \(P(41\leqslant Y\leqslant59)\approx0{,}943<0{,}95\)
\(e=10\) : \(P(40\leqslant Y\leqslant60)\approx0{,}965\geqslant0{,}95\) ✔
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est \([40\,;60]\).
9En seconde, on a vu que la fréquence observée appartient dans environ 95 % des cas à \(\left[p-\frac1{\sqrt n}\,;p+\frac1{\sqrt n}\right]\). Calculez cet intervalle pour \(p=0{,}5\) et \(n=100\), traduisez-le en nombre de Pile et comparez avec la question 8.
Intervalle des fréquences : \([\) \(;\) \(]\) → en nombre de Pile : \([\) \(;\) \(]\)
\(\dfrac1{\sqrt{100}}=\dfrac1{10}=0{,}1\)
\([0{,}5-0{,}1\,;0{,}5+0{,}1]=[0{,}4\,;0{,}6]\)
En nombre de Pile : \([0{,}4\times100\,;0{,}6\times100]=[40\,;60]\).
On retrouve exactement l'intervalle de la question 8 !
Laboratoire : choisissez \(n\), \(p\) et le seuil. L'intervalle de fluctuation (centré sur l'entier le plus proche de \(np\)) se calcule automatiquement ; il est comparé à l'intervalle de seconde \(\left[p-\frac1{\sqrt n}\,;p+\frac1{\sqrt n}\right]\). Cet intervalle porte sur la fréquence : pour le comparer, on le traduit en nombre de succès en multipliant ses bornes par \(n\) (trait bleu sous le graphique).