Dire qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est une fonction polynôme du second degré signifie qu'il existe des nombres réels $a\neq 0$, $b$ et $c$ tels que pour tout nombre réel $x$ :
Il s'agit de la forme développée de $f(x)$.
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=6x^2+8x-4$ et $g(x)=5x+9$.
$f(x)=6x^2+8x-4$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=6$, $\quad b=8$, $\quad c=-4$
Comme $a=6\neq0$, $f$ est bien une fonction polynôme du second degré.
$g(x)=5x+9$ est de la forme $ax+b$ avec $a=5$ et $b=9$ : c'est une fonction polynôme du premier degré (affine), pas du second degré.
Pour être du second degré, il faudrait un terme en $x^2$ avec un coefficient non nul.
On appelle racine de la fonction polynôme du second degré $f$ tout nombre réel $x_1$ tel que $f(x_1)=0$.
Autrement dit une racine de $f$ est une solution de l'équation $f(x)=0$.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie par $f(x)=2x^2-4x-16$.
$f(-2)=2(-2)^2-4\times (-2)-16=2\times 4 +8-16=8+8-16=0$ ✓ → $-2$ est bien une racine.
$f(4)=2\times 4^2-4\times 4-16=2\times 16-16-16=32-16-16=0$ ✓ → $4$ est bien une racine.
Pour tout réel $x$, on développe $2(x+2)(x-4)$ :
$2(x+2)(x-4)=2(x^2-4x+2x-8)=2(x^2-2x-8)=2x^2-4x-16$
On retrouve bien $f(x)=2x^2-4x-16$ pour tout réel $x$. ✓
La courbe représentative $\mathcal{P}$ d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.
Si $a>0$ : la parabole est ouverte vers le haut (sourire ☺).
Si $a<0$ : la parabole est ouverte vers le bas (tristesse ☹).
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
Si $f$ admet les réels $x_1$ et $x_2$ pour racines, alors $f$ s'écrit sous forme factorisée :
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-18$.
Déterminer la forme factorisée de $f$.
On cherche les racines de $f$ en résolvant $f(x)=0$ :
$2x^2-18=0 \;\Leftrightarrow\; 2(x^2-9)=0 \;\Leftrightarrow\; x^2-9=0 \;\Leftrightarrow\; x^2-3^2=0$
$\Leftrightarrow\; (x-3)(x+3)=0 \;\Leftrightarrow\; x-3=0$ ou $x+3=0 \Leftrightarrow\; x=3$ ou $x=-3$
Les racines de $f$ sont $x_1=-3$ et $x_2=3$. D'après la Propriété 1 (avec $a=2$) :
Vérif. : $2(x+3)(x-3)=2(x^2-9)=2x^2-18$ ✓
Déterminer sous forme factorisée des fonctions polynômes du second degré admettant $1$ et $5$ pour racines.
D'après la Propriété 1, toute fonction polynôme du second degré ayant $x_1=1$ et $x_2=5$ pour racines s'écrit sous la forme :
Il y a une infinité de solutions selon la valeur de $a$. Quelques exemples :
Pour $a=1$ : $f(x)=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$
Pour $a=2$ : $f(x)=2(x-1)(x-5)=2x^2-12x+10$
Pour $a=-1$ : $f(x)=-(x-1)(x-5)=-x^2+6x-5$
Vérif. pour $a=1$ : $f(1)=(1-1)(1-5)=0$ ✓ et $f(5)=(5-1)(5-5)=0$ ✓
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
Si $f$ admet les réels $x_1$ et $x_2$ pour racines, alors :
la somme des racines est $\quad S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
le produit des racines est $\quad P=x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$
D'après la Propriété 1 : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a\bigl[x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2\bigr]=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1 x_2$
En identifiant avec $ax^2+bx+c$ : $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=ax_1 x_2$
Donc $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$. $\square$
Déterminer sous forme développée une fonction polynôme du second degré dont la somme des racines est $4$ et le produit des racines est $-5$, et telle que $a=1$.
On sait que $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $P=x_1 x_2=\dfrac{c}{a}$.
Avec $a=1$, $S=4$ et $P=-5$ :
$-\dfrac{b}{1}=4 \;\Rightarrow\; b=-4$
$\dfrac{c}{1}=-5 \;\Rightarrow\; c=-5$
La fonction polynôme du second degré cherchée est donc :
Vérif. : $f(x)=x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$ → racines $5$ et $-1$, $S=5+(-1)=4$ ✓, $P=5\times(-1)=-5$ ✓
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré écrite sous forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
L'équation $f(x)=0$ possède deux solutions (éventuellement égales) : $x=x_1$ et $x=x_2$ appelées les racines de $f$.
De plus les points de coordonnées $(x_1\,;\,0)$ et $(x_2\,;\,0)$ sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-8$.
$f(x)=0 \;\Leftrightarrow\; 2x^2-8=0 \;\Leftrightarrow\; 2(x^2-4)=0 \;\Leftrightarrow\; x^2=4$
$x=2$ ou $x=-2$. Les racines sont $x_1=-2$ et $x_2=2$. D'après la Propriété 1 (avec $a=2$) :
$a=2>0$ : la parabole est ouverte vers le haut.
Elle coupe l'axe des abscisses aux points $(-2\,;\,0)$ et $(2\,;\,0)$.
L'axe de symétrie a pour équation $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0$.
L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées (d'équation $x=0$).
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme factorisée $f(x)=-2(x+3)(x-5)$.
$f(x)=0 \;\Leftrightarrow\; -2(x+3)(x-5)=0 \;\Leftrightarrow\; x+3=0$ ou $x-5=0$
Les solutions sont $x=-3$ ou $x=5$. Les racines de $f$ sont donc $x_1=-3$ et $x_2=5$.
$f(x)<0$ pour $x\in{]}{-\infty\,;\,-3[}$ et pour $x\in{]}{5\,;\,+\infty[}$, et $f(x)>0$ pour $x\in{]}{-3\,;\,5[}$.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré écrite sous forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
La parabole représentant $f$ possède un axe de symétrie. Cet axe est une droite verticale dont l'équation est :
Le sommet de la parabole appartient à cet axe de symétrie.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
Il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout réel $x$, $f$ s'écrit :
Cette écriture est appelée forme canonique de $f$.
Les réels $\alpha$ et $\beta$ peuvent être obtenus par les formules :
Objectif : montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=ax^2+bx+c$ s'écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
Étape 1 — On factorise $a$ sur les deux premiers termes :
Étape 2 — Complétion du carré : on ajoute et on soustrait $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ à l'intérieur de la parenthèse :
Étape 3 — Identité remarquable $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ avec $u=x$ et $v=\dfrac{b}{2a}$ :
Étape 4 — On pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=c-\dfrac{b^2}{4a}$, d'où :
Vérification $\beta=f(\alpha)$ :
$\square$
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré écrite sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
Le sommet $S$ de la parabole $\mathcal{P}$ a pour coordonnées :
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2+4x+11$.
$a=2$, $b=4$, $c=11$.
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{4}=-1$
$\beta=f(\alpha)=f(-1)=2(-1)^2+4(-1)+11=2-4+11=9$
La forme canonique de $f$ est donc :
Vérif. : $2(x+1)^2+9=2(x^2+2x+1)+9=2x^2+4x+2+9=2x^2+4x+11$ ✓
$a=2>0$ : la parabole est ouverte vers le haut. Le sommet est $S(-1\,;\,9)$.
Comme $\beta=9>0$, le sommet est au-dessus de l'axe des abscisses. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses : $f(x)>0$ pour tout réel $x$.
On rappelle l'identité remarquable : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)=(x-2)^2-9$.
On reconnaît la forme $a^2-b^2$ avec $a=(x-2)$ et $b=3$ (car $9=3^2$) :
$f(x)=(x-2)^2-3^2=\bigl[(x-2)-3\bigr]\bigl[(x-2)+3\bigr]$
Vérif. : $(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5$ et $(x-2)^2-9=x^2-4x+4-9=x^2-4x-5$ ✓
$f(x)=0 \;\Leftrightarrow\; (x-5)(x+1)=0 \;\Leftrightarrow\; x-5=0$ ou $x+1=0$
Les solutions de $f(x)=0$ sont $x=5$ et $x=-1$.
Ces deux valeurs sont les racines de $f$.
Soit $f$ sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
Si $a>0$ : $f$ admet pour minimum $\beta$ sur $\mathbb{R}$, atteint au point d'abscisse $\alpha$.
Si $a<0$ : $f$ admet pour maximum $\beta$ sur $\mathbb{R}$, atteint au point d'abscisse $\alpha$.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré écrite sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
Si $a>0$ — minimum $\beta$ en $\alpha$
Si $a<0$ — maximum $\beta$ en $\alpha$
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-5x+6$.
Déterminer la forme canonique de $f$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
$a=3$, $b=-5$, $c=6$.
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-5}{6}=\dfrac{5}{6}$
$\beta=f\!\left(\dfrac{5}{6}\right)=3\!\left(\dfrac{5}{6}\right)^2-5\!\left(\dfrac{5}{6}\right)+6=3\times\dfrac{25}{36}-\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{75}{36}-\dfrac{150}{36}+\dfrac{216}{36}=\dfrac{141}{36}=\dfrac{47}{12}$
La forme canonique de $f$ est donc :
$a=3>0$ : $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac{5}{6}\right]$ puis croissante sur $\left[\dfrac{5}{6}\,;\,+\infty\right[$, avec un minimum $\beta=\dfrac{47}{12}$.
Le script permet de calculer les coefficients $\alpha$ et $\beta$ de la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ à partir des coefficients $a$, $b$ et $c$ de la forme développée.
Appel en console pour $f(x)=2x^2-12x+23$ :
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> fc(2,-12,23) (3.0, 5.0)
$\alpha=3$ et $\beta=5$ : forme canonique $2(x-3)^2+5$.
Script avec commentaires :
from math import * def fc(a,b,c): #forme canonique #La valeur -b/(2*a) est mémorisée dans la variable alpha alpha = -b/(2*a) #On stocke dans la variable beta la valeur f(alpha) beta = a*alpha**2+b*alpha+c #On renvoie en console les valeurs de alpha et beta return alpha,beta
Le même script sans les commentaires :
from math import * def fc(a,b,c): alpha = -b/(2*a) beta = a*alpha**2+b*alpha+c return alpha,beta