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Identités remarquables ²

Trois formules pour développer très vite, avec des nombres, des x, des fractions et des racines carrées. Les couleurs restent les mêmes partout : a en bleu, b en rouge.

Le cours existe aussi en diaporama : ouvrir le diaporama des identités remarquables →

1. Les trois identités remarquables

Pour tous nombres \ca{a} et \cb{b} :

①Carré d'une somme
(\ca{a}+\cb{b})^2=\ca{a}^2+2\times\ca{a}\times\cb{b}+\cb{b}^2
②Carré d'une différence
(\ca{a}-\cb{b})^2=\ca{a}^2-2\times\ca{a}\times\cb{b}+\cb{b}^2
③Somme × différence
(\ca{a}+\cb{b})(\ca{a}-\cb{b})=\ca{a}^2-\cb{b}^2
a : premier terme b : second terme, écrit sans son signe 2×a×b : le double produit

Le terme 2\times\ca{a}\times\cb{b} s'appelle le double produit : c'est 2 fois a fois b.

2. D'où viennent ces formules ?

Par le calcul (double distributivité)

\begin{aligned}(\ca{a}+\cb{b})^2&=(\ca{a}+\cb{b})(\ca{a}+\cb{b})\\&=\ca{a}\times\ca{a}+\ca{a}\times\cb{b}+\cb{b}\times\ca{a}+\cb{b}\times\cb{b}\\&=\ca{a}^2+\ca{a}\cb{b}+\ca{a}\cb{b}+\cb{b}^2\\&=\ca{a}^2+2\times\ca{a}\times\cb{b}+\cb{b}^2\end{aligned}

Les deux produits \ca{a}\cb{b} sont identiques : on les regroupe, cela donne 2\times\ca{a}\times\cb{b}.

Avec des aires

a² ab ab b² a b a b

Le grand carré a pour côté a + b. Son aire est a² + ab + ab + b².

Les deux autres, de la même façon

\begin{aligned}(\ca{a}-\cb{b})^2&=(\ca{a}-\cb{b})(\ca{a}-\cb{b})\\&=\ca{a}^2-\ca{a}\cb{b}-\ca{a}\cb{b}+\cb{b}^2\\&=\ca{a}^2-2\times\ca{a}\times\cb{b}+\cb{b}^2\end{aligned}
\begin{aligned}(\ca{a}+\cb{b})(\ca{a}-\cb{b})&=\ca{a}^2-\ca{a}\cb{b}+\ca{a}\cb{b}-\cb{b}^2\\&=\ca{a}^2-\cb{b}^2\end{aligned}

Dans la troisième, les deux termes \ca{a}\cb{b} s'annulent : il n'y a pas de double produit.

3. Le piège à éviter

Attention : (a+b)^2 n'est pas égal à a^2+b^2. On n'oublie jamais le double produit.

Vérification avec a = 3 et b = 4 : (3+4)^2=7^2=49 mais 3^2+4^2=9+16=25. La différence 49-25=24, c'est justement \cd{2\times3\times4}.

4. Les règles de calcul dont on a besoin

Carré d'un produit
\begin{aligned}(3x)^2&=3^2\times x^2\\&=9x^2\end{aligned}
Carré d'une racine
\left(\sqrt{5}\right)^2=5
Carré de k√n
\begin{aligned}\left(3\sqrt{5}\right)^2&=3^2\times\left(\sqrt{5}\right)^2\\&=9\times5\\&=45\end{aligned}
Produit de racines
\begin{aligned}\sqrt{3}\times\sqrt{5}&=\sqrt{3\times5}\\&=\sqrt{15}\end{aligned}
Carré d'une fraction
\begin{aligned}\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=\dfrac{2^2}{3^2}\\&=\dfrac{4}{9}\end{aligned}
Simplifier une racine
\begin{aligned}\sqrt{12}&=\sqrt{4\times3}\\&=\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}

5. La méthode

  1. Reconnaître l'identité : un carré avec + ①, un carré avec − ②, ou deux parenthèses qui ne diffèrent que par le signe ③.
  2. Repérer a et b : \ca{a} est le premier terme, \cb{b} le second, écrit sans son signe.
  3. Calculer séparément \ca{a}^2, 2\times\ca{a}\times\cb{b} et \cb{b}^2 (pas de double produit pour ③).
  4. Assembler puis réduire : on recopie avec les bons signes, puis on regroupe les termes de même nature.

6. Exemples corrigés

Clique sur un exemple pour voir la correction complète, avec le détail de chaque calcul.