Fiche de synthèse sur les suites

⚠ Attention : on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes ! Ils donnent une idée, mais ne prouvent rien pour tous les entiers $n$.

Rappel : définitions

Dire que $(u_n)$ est croissante signifie que pour tout entier $n$ : $\bl{u_{n+1}}\geqslant\rd{u_n}$.

Dire que $(u_n)$ est décroissante signifie que pour tout entier $n$ : $\bl{u_{n+1}}\leqslant\rd{u_n}$.

Avec des inégalités strictes ($>$ ou $<$), on dit « strictement croissante » ou « strictement décroissante ».

On peut alors choisir l'une des deux méthodes suivantes :

On calcule la différence $\bl{u_{n+1}}-\rd{u_n}$ et on étudie son signe

Si pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
Si pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

Exemple

Étudions le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^2+2$.

$\bl{u_{n+1}}-\rd{u_n}=\bl{[(n+1)^2+2]}-\rd{[n^2+2]}$On remplace $n$ par $n+1$ dans la formule pour obtenir $u_{n+1}$.

$u_{n+1}-u_n=[n^2+2n+1+2]-[n^2+2]$On développe : $(n+1)^2=n^2+2n+1$.

$u_{n+1}-u_n=[n^2+2n+3]-[n^2+2]$On réduit : $1+2=3$.

$u_{n+1}-u_n=n^2+2n+3-n^2-2$On supprime les crochets : le signe « $-$ » devant le second crochet change tous ses signes.

$u_{n+1}-u_n=2n+1$On regroupe : $n^2-n^2=0$ et $3-2=1$.

$n$ est un entier naturel donc $n\geqslant 0$, donc $2n+1\geqslant 1>0$.
Ainsi $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Les premiers termes de $u_n=n^2+2$ : chaque point est plus haut que le précédent.

Si la suite est à termes strictement positifs, on peut calculer le quotient $\dfrac{\bl{u_{n+1}}}{\rd{u_n}}$ et le comparer à 1

Si pour tout entier $n$, $u_n>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
Si pour tout entier $n$, $u_n>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant 1$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

Pourquoi faut-il que les termes soient strictement positifs ?

Si $u_n>0$, on peut multiplier les deux membres de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ par $u_n$ sans changer le sens de l'inégalité : on obtient $u_{n+1}\geqslant u_n$.
Si $u_n$ était négatif, le sens de l'inégalité changerait et la conclusion serait inversée !

Exemple

Étudions le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=0{,}5^n$.

$0{,}5>0$ donc $0{,}5^n>0$$0{,}5^n=0{,}5\times0{,}5\times\dots\times0{,}5$ est un produit de nombres positifs : la suite est à termes strictement positifs.

$\dfrac{\bl{u_{n+1}}}{\rd{u_n}}=\dfrac{\bl{0{,}5^{n+1}}}{\rd{0{,}5^n}}$On remplace $n$ par $n+1$ au numérateur.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0{,}5^{\,n+1-n}$On utilise la règle $\dfrac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0{,}5^1$On simplifie l'exposant : $n+1-n=1$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0{,}5$$a^1=a$.

Pour tout $n$, $u_n>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0{,}5<1$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Les premiers termes de $u_n=0{,}5^n$ : chaque terme est la moitié du précédent.

Bien sûr ! Prenons par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n=-\dfrac{1}{n+1}$.

Pour tout $n$, $n+1>0$ donc $\dfrac{1}{n+1}>0$ et $-\dfrac{1}{n+1}<0$ : la suite est à termes négatifs.
Montrons avec la méthode de la différence qu'elle est croissante :

$\bl{u_{n+1}}-\rd{u_n}=\bl{-\dfrac{1}{n+2}}-\rd{\left(-\dfrac{1}{n+1}\right)}$On remplace $n$ par $n+1$ : $(n+1)+1=n+2$.

$u_{n+1}-u_n=-\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1}$Moins par moins donne plus.

$u_{n+1}-u_n=-\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}$On met au même dénominateur $(n+1)(n+2)$.

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(n+1)+(n+2)}{(n+1)(n+2)}$On écrit une seule fraction.

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-n-1+n+2}{(n+1)(n+2)}$On supprime les parenthèses.

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$On réduit : $-n+n=0$ et $-1+2=1$.

Le dénominateur $(n+1)(n+2)$ est un produit de nombres positifs, donc $u_{n+1}-u_n>0$.
La suite $(u_n)$ est strictement croissante, et pourtant tous ses termes sont négatifs.

Les points montent… mais restent toujours sous l'axe des abscisses.

On calcule la différence $\bl{u_{n+1}}-\rd{u_n}$

Si cette différence est un réel qui ne dépend pas de $n$ (une constante $r$), alors la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$.

⚠ Attention : on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes !

Exemple

Montrons que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=5n+3$ est arithmétique.

$\bl{u_{n+1}}-\rd{u_n}=\bl{[5(n+1)+3]}-\rd{[5n+3]}$On remplace $n$ par $n+1$ pour obtenir $u_{n+1}$.

$u_{n+1}-u_n=[5n+5+3]-[5n+3]$On développe : $5(n+1)=5n+5$.

$u_{n+1}-u_n=[5n+8]-[5n+3]$On réduit : $5+3=8$.

$u_{n+1}-u_n=5n+8-5n-3$Le signe « $-$ » change les signes du second crochet.

$u_{n+1}-u_n=5$On regroupe : $5n-5n=0$ et $8-3=5$.

La différence ne dépend pas de $n$ : la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_0=5\times0+3=3$.

Les points représentant la suite sont tous situés sur la droite d'équation $y=5x+3$.

À retenir : une suite de la forme $u_n=an+b$ est arithmétique de raison $a$ et de premier terme $u_0=b$.

Si pour tout entier $n$, $u_n\neq0$ : on calcule le quotient $\dfrac{\bl{u_{n+1}}}{\rd{u_n}}$

Si ce quotient est un réel qui ne dépend pas de $n$ (une constante $q$), alors la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$.

⚠ Attention : on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes !

Et si certains termes peuvent être nuls ?

On ne peut pas diviser par $0$, donc on ne calcule pas de quotient. On montre directement qu'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=q\times u_n$.

Exemple

Montrons que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=3^{2n}$ est géométrique.

$3^{2n}>0$ donc $u_n\neq0$Une puissance de 3 n'est jamais nulle : on a le droit de diviser.

$\dfrac{\bl{u_{n+1}}}{\rd{u_n}}=\dfrac{\bl{3^{2(n+1)}}}{\rd{3^{2n}}}$On remplace $n$ par $n+1$ au numérateur.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3^{2n+2}}{3^{2n}}$On développe l'exposant : $2(n+1)=2n+2$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=3^{\,2n+2-2n}$Règle : $\dfrac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=3^2$On simplifie : $2n+2-2n=2$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=9$$3^2=3\times3=9$.

Le quotient ne dépend pas de $n$ : la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=9$ et de premier terme $u_0=3^{2\times0}=3^0=1$.

Remarque : on pouvait aussi écrire $3^{2n}=(3^2)^n=9^n$. Une suite de la forme $u_n=a\times q^n$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=a$.

Bien sûr ! Prenons par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^2+1$.

$u_0=0^2+1=1$ ; $u_1=1^2+1=2$ ; $u_2=2^2+1=5$On calcule les trois premiers termes.

$u_1-u_0=2-1=1$ et $u_2-u_1=5-2=3$On calcule deux différences consécutives.

$1\neq3$Les différences ne sont pas égales : la suite n'est pas arithmétique.

$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{2}{1}=2$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{5}{2}=2{,}5$On calcule deux quotients consécutifs.

$2\neq2{,}5$Les quotients ne sont pas égaux : la suite n'est pas géométrique.

La suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Important : pour prouver qu'une suite n'est pas arithmétique (ou géométrique), un seul contre-exemple suffit. Ici, calculer trois termes constitue donc une vraie preuve, alors que pour prouver qu'une suite est arithmétique, il faut un calcul valable pour tout $n$.

Les points de $u_n=n^2+1$ ne sont pas alignés : les écarts augmentent.

Suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$

Raison	$u_0>0$	$u_0<0$
$q>1$	croissante	décroissante
$q=1$	constante	constante
$0<q<1$	décroissante	croissante
$q<0$	alternée	alternée

« Alternée » : les termes changent de signe à chaque rang, la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Suite arithmétique de raison $r$

Raison	Sens de variation
$r>0$	croissante
$r=0$	constante
$r<0$	décroissante

🔍 Explorateur : fais varier le premier terme et la raison

Premier terme $u_0$ = 2 Raison $q$ = 1,3

Suite géométrique de raison $q$

On connaît $u_p$ et on cherche $u_n$ :

$u_n=u_p\times q^{\,n-p}$

En particulier : $u_n=u_0\times q^n$.

En mots : terme cherché = terme donné × raison^{(différence des rangs)}

Suite arithmétique de raison $r$

On connaît $u_p$ et on cherche $u_n$ :

$u_n=u_p+(n-p)\times r$

En particulier : $u_n=u_0+n\times r$.

En mots : terme cherché = terme donné + (différence des rangs) × raison

$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $q=2$ et $u_7=5$. Calculer $u_{19}$.

$u_n=u_p\times q^{\,n-p}$On écrit la formule.

$u_{19}=u_7\times2^{\,19-7}$On remplace : $n=19$, $p=7$, $q=2$.

$u_{19}=5\times2^{12}$$u_7=5$ et $19-7=12$.

$u_{19}=5\times4\,096$$2^{12}=4\,096$.

$u_{19}=20\,480$On termine le calcul.

$(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $r=8$ et $u_{31}=4$. Calculer $u_{133}$.

$u_n=u_p+(n-p)\times r$On écrit la formule.

$u_{133}=u_{31}+(133-31)\times8$On remplace : $n=133$, $p=31$, $r=8$.

$u_{133}=4+102\times8$$u_{31}=4$ et $133-31=102$.

$u_{133}=4+816$$102\times8=816$ (la multiplication avant l'addition).

$u_{133}=820$On termine le calcul.

Un nouvel exercice à chaque clic, avec sa correction détaillée.

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Si $S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+\dots+u_{n-1}+u_n$ est la somme de $\boldsymbol{(n-p+1)}$ termes d'une suite arithmétique, alors :

$S=\dfrac{(n-p+1)\,(u_p+u_n)}{2}$

ou, écrit autrement :

$S=\dfrac{(\text{nombre de termes})\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$

⚠ Piège classique : de $u_p$ à $u_n$, il y a $n-p+1$ termes et non $n-p$. Par exemple, de $u_0$ à $u_{10}$ il y a $10-0+1=11$ termes.

Nombre de termes : 6

On recopie la somme à l'envers (en rouge) : les deux escaliers forment un rectangle, qui contient donc deux fois la somme.

Exemple

$(u_n)$ est la suite arithmétique définie par $u_n=5n+3$. Calculer $S=u_0+u_1+\dots+u_{10}$.

Nombre de termes : $10-0+1=11$De $u_0$ à $u_{10}$.

$u_0=5\times0+3=3$Le premier terme.

$u_{10}=5\times10+3=53$Le dernier terme.

$S=\dfrac{11\times(3+53)}{2}$On remplace dans la formule.

$S=\dfrac{11\times56}{2}$$3+53=56$.

$S=\dfrac{616}{2}$$11\times56=616$.

$S=308$$616\div2=308$.

Si $S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+\dots+u_{n-1}+u_n$ est la somme de $\boldsymbol{(n-p+1)}$ termes d'une suite géométrique de raison $q\neq1$, alors :

$S=u_p\times\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}$

ou, écrit autrement :

$S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\,\text{nombre de termes}}}{1-q}$

Si $q=1$, tous les termes sont égaux : $S=(n-p+1)\times u_p$.

Exemple

Calculer $S=1+2+4+8+\dots+512$.

Premier terme $1$, raison $q=2$Chaque terme est le double du précédent : c'est une suite géométrique.

$1=2^0$ et $512=2^9$On repère les rangs du premier et du dernier terme.

Nombre de termes : $9-0+1=10$De $2^0$ à $2^9$.

$S=1\times\dfrac{1-2^{10}}{1-2}$On remplace dans la formule.

$S=\dfrac{1-1\,024}{-1}$$2^{10}=1\,024$ et $1-2=-1$.

$S=\dfrac{-1\,023}{-1}$$1-1\,024=-1\,023$.

$S=1\,023$Moins divisé par moins donne plus.

Nombre de termes : 1

Somme $\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dots$ : premier terme $\dfrac12$, raison $q=\dfrac12$. Avec la formule : $S=\dfrac12\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^k}{1-\frac12}=1-\left(\dfrac12\right)^k$. Le carré d'aire 1 se remplit sans jamais déborder.

Dans un tableur, on écrit une valeur dans la cellule A1, puis une formule dans A2 qui utilise A1. En « tirant » la formule vers le bas, chaque cellule utilise la cellule juste au-dessus : on obtient une suite.

A1 = Formule en A2 :=A1

Clique sur une cellule pour voir la formule qu'elle contient et le calcul direct de sa valeur.

⬇ Activité 1 : découverte (PDF)⬇ Activité 2 : réinvestissement (PDF)

À retenir : la formule =A1+3 tirée vers le bas donne une suite arithmétique de raison 3 ; la formule =A1*3 donne une suite géométrique de raison 3. La cellule de la ligne $k$ contient le terme de rang $k-1$ si on numérote à partir de $u_0$.