🧭 Étape 1 — Fonctions de plusieurs variables et dérivées partielles

Le point de départ : tout le reste (gradient, différentielle, divergence, rotationnel) n'utilise que des dérivées partielles.

1. Plusieurs variables 2. Rappels 1D 3. L'idée : figer 4. Définition 5. Méthode 6. Produits, quotients, composées 7. Dérivées secondes 8. Parcours d'exercices

1. Des fonctions de plusieurs variables

Beaucoup de grandeurs dépendent de plusieurs nombres à la fois :

l'aire d'un rectangle dépend de sa longueur et de sa largeur : $A(L,\ell)=L\,\ell$ ;
le volume d'un cylindre dépend du rayon et de la hauteur : $V(r,h)=\pi r^2h$ ;
la température dans une pièce dépend de la position $(x,y,z)$ : $T(x,y,z)$.

Définition Une fonction de deux variables associe à chaque couple $(x,y)$ d'une partie $\mathcal D$ de $\mathbb R^2$ (son domaine de définition) un nombre réel $f(x,y)$. De même avec trois variables $(x,y,z)$.

Exemple $f(x,y)=x^2y-3y+1$. Alors $f(2,-1)=2^2\times(-1)-3\times(-1)+1=-4+3+1=0$.
Le domaine de $g(x,y)=\sqrt{x-y}$ est l'ensemble des $(x,y)$ tels que $x-y\ge0$, c'est-à-dire $y\le x$ : un demi-plan.

On représente une fonction de deux variables par une surface d'équation $z=f(x,y)$ (à gauche) ou par ses lignes de niveau $f(x,y)=k$, comme sur une carte de randonnée (à droite).

$f(x,y)=$

2. Rappels : dériver une fonction d'une variable

Pour calculer des dérivées partielles, on n'utilise que les règles de dérivation de première/terminale. Vérifie que tu les connais (niveau 1 du parcours en bas de page).

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
$x^n$	$nx^{n-1}$	$u+v$	$u'+v'$
$e^{x}$, $e^{kx}$	$e^{x}$, $ke^{kx}$	$k\,u$ ($k$ constante)	$k\,u'$
$\ln x$	$\frac1x$	$uv$	$u'v+uv'$
$\sin(kx)$	$k\cos(kx)$	$\frac uv$	$\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$\cos(kx)$	$-k\sin(kx)$	$e^{u}$, $u^n$, $\ln u$	$u'e^{u}$, $nu'u^{n-1}$, $\frac{u'}{u}$
$\sqrt x$	$\frac{1}{2\sqrt x}$	$\sin u$, $\cos u$, $\sqrt u$	$u'\cos u$, $-u'\sin u$, $\frac{u'}{2\sqrt u}$

⚠ La règle qui va tout changer La dérivée d'une constante est $0$, et une constante en facteur reste : $(5x^2)'=5\times2x$, $(\pi x)'=\pi$, $(7)'=0$.

3. L'idée : on fige toutes les variables sauf une

Exemple concret Le volume d'un cylindre est $V(r,h)=\pi r^2h$.

Si on garde la hauteur fixée, par exemple $h=10$, alors $V=10\pi\,r^2$ est une fonction de $r$ seul, de dérivée $20\pi r$. En général, à $h$ fixé, la dérivée par rapport à $r$ est $2\pi r\,h$.
Si on garde le rayon fixé, $V=(\pi r^2)\,h$ est une fonction linéaire de $h$, de dérivée $\pi r^2$.

On note $\dfrac{\partial V}{\partial r}=2\pi rh$ et $\dfrac{\partial V}{\partial h}=\pi r^2$ : ce sont les dérivées partielles de $V$.

Géométriquement : fixer $y=b$, c'est couper la surface par le plan $y=b$. On obtient une courbe (en orange), qui est le graphe de la fonction d'une variable $x\mapsto f(x,b)$. La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ est la pente de la tangente à cette courbe en $x=a$. Bouge $b$ : la courbe change !

La surface et la coupe

La fonction d'une variable obtenue

$f(x,y)=$ figer $y$ (dériver en $x$) figer $x$ (dériver en $y$)

$a$ $b$

4. Définition

Définition Soit $f$ définie autour de $(a,b)$. La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $(a,b)$ est (si elle existe) $$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+t,\,b)-f(a,b)}{t},$$ c'est-à-dire la dérivée en $a$ de la fonction d'une variable $x\mapsto f(x,b)$. De même $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{t\to0}\frac{f(a,\,b+t)-f(a,b)}{t}$.

Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ se lit « d rond $f$ sur d rond $x$ ». On écrit aussi $\partial_xf$, $f'_x$ ou $\partial_1 f$. Le symbole $\partial$ (et non $d$) rappelle qu'il y a d'autres variables.

5. La méthode, pas à pas

🛠 Méthode Pour calculer $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ :

on fige toutes les autres variables : on les traite comme des nombres (on les grise dans les corrections) ;
on dérive par rapport à $x$ avec les règles habituelles ;
un terme qui ne contient pas $x$ est une constante : il donne $0$.

Exemple 1 : $f(x,y)=3x^2y+5y^3-2x+7$

Exemple 2 : trois variables, $g(x,y,z)=xy^2z^3$

Exemple 3 : en un point. Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ pour $f(x,y)=x^3y-4xy^2$.

6. Produits, quotients, fonctions composées

Les règles de dérivation s'appliquent comme d'habitude, en se souvenant que les variables figées sont des constantes.

Exemple 4 (produit) : $f(x,y)=x^2e^{3y}$

Exemple 5 (composée) : $f(x,y)=\sin(x^2y)$

Exemple 6 (composée) : $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$

Exemple 7 (quotient) : $f(x,y)=\dfrac{x}{x+y}$

7. Dérivées partielles secondes

Définition En dérivant encore une fois les dérivées partielles, on obtient quatre dérivées secondes : $$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big),\quad \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big),\quad \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big),\quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}.$$

Théorème de Schwarz Si $f$ est de classe $C^2$ (dérivées secondes continues), alors $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}$ : l'ordre de dérivation n'a pas d'importance.

Exemple 8 : $f(x,y)=x^3y^2+2xy$

💡 Et ensuite ? Le vecteur des dérivées partielles s'appelle le gradient ; le tableau des dérivées secondes, la matrice hessienne. Tu les retrouveras dans les pages Gradient et Différentielle.

8. Parcours d'exercices

Onze niveaux, du plus facile aux exercices de synthèse. Chaque exercice est tiré au hasard : clique sur 🎲 pour en refaire un. Les exercices marqués 🪜 se font pas à pas : chaque réponse juste débloque la question suivante, avec un indice 💡 à chaque étape. Ta progression est mémorisée dans ce navigateur.

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