⛰️ Le gradient

Le vecteur qui pointe vers la plus forte pente.

🧭 Avant de commencer Il faut savoir calculer des dérivées partielles (étape 1). Le gradient n'est rien d'autre que le vecteur qui les range.

1. Définition 2. Plus forte pente & lignes de niveau 3. Règles de calcul 4. Gradients à connaître 5. Fonctions radiales & laplacien 6. Points critiques 7. Exercices

1. Définition

Définition Soit $f:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R$ différentiable en $a$. Le gradient de $f$ en $a$ est l'unique vecteur $\nabla f(a)$ tel que $$df_a(h)=\langle\nabla f(a),h\rangle\quad\text{pour tout }h,\qquad\text{soit}\qquad \nabla f(a)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\\vdots\\\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{pmatrix}.$$

Exemple $f(x,y,z)=x^2y+\sin z$ : $\nabla f=(2xy\ ;\ x^2\ ;\ \cos z)$. En $(1,2,0)$ : $\nabla f=(4\ ;1\ ;1)$.

Méthode pas à pas : $f(x,y)=x^2y+3y$ au point $A=(1,2)$

2. Plus forte pente et lignes de niveau

🥾 La situation Imagine que $f(x,y)$ est l'altitude d'un terrain au point $(x,y)$ de la carte. Un randonneur est au point $A$. Il peut partir dans n'importe quelle direction, donnée par un vecteur unitaire $u$ (un vecteur de longueur 1, par exemple $u=(\cos\theta,\sin\theta)$ où $\theta$ est l'angle avec l'axe des abscisses). Question : dans quelle direction la pente est-elle la plus forte ? Dans quelle direction le chemin reste-t-il à plat ?

rotation automatique

Rappels

La pente de $f$ au point $A$ dans la direction $u$ est la dérivée directionnelle $D_uf(A)$ (voir la page Différentielle). Si $f$ est différentiable : $D_uf(A)=\langle\nabla f(A),u\rangle$.
Produit scalaire et angle : $\langle v,u\rangle=\|v\|\times\|u\|\times\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs $v$ et $u$.
La ligne de niveau $k$ de $f$ est l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $f(x,y)=k$ : sur une carte de randonnée, ce sont les courbes de même altitude.

Propriété Soit $u$ un vecteur unitaire ($\|u\|=1$) et $\theta$ l'angle entre $u$ et $\nabla f(A)$. Alors la pente de $f$ en $A$ dans la direction $u$ vaut $$D_uf(A)=\langle\nabla f(A),u\rangle=\|\nabla f(A)\|\times\underbrace{\|u\|}_{=1}\times\cos\theta=\|\nabla f(A)\|\times\cos\theta .$$ Comme $\cos\theta$ est compris entre $-1$ et $1$ :

la pente $D_uf(A)$ est la plus grande quand $\cos\theta=1$, c'est-à-dire $\theta=0$ : $u$ a la même direction et le même sens que $\nabla f(A)$. Cette pente maximale vaut $\|\nabla f(A)\|$. Le gradient indique la direction dans laquelle $f$ augmente le plus vite.
la pente $D_uf(A)$ est la plus petite (descente la plus rapide) quand $\cos\theta=-1$ : $u$ a le sens de $-\nabla f(A)$, et la pente vaut $-\|\nabla f(A)\|$.
la pente $D_uf(A)$ est nulle quand $\cos\theta=0$, c'est-à-dire quand $u$ est perpendiculaire à $\nabla f(A)$ : on avance sans monter ni descendre, donc en restant sur la ligne de niveau de $A$. Le gradient $\nabla f(A)$ est perpendiculaire à la ligne de niveau qui passe par $A$.

Exemple détaillé : $f(x,y)=x^2+2y^2$ au point $A=(1,1)$

🗺 Comment lire l'animation ci-dessous

C'est une carte vue de dessus : la couleur du fond donne la valeur de $f$ (violet : petites valeurs, comme une vallée ; jaune : grandes valeurs, comme un sommet).
Les courbes sombres sont des lignes de niveau : sur chacune, $f$ garde la même valeur.
Les petites flèches grises représentent le gradient $\nabla f$ en chaque point.
Les billes blanches avancent toujours dans la direction de $\nabla f$ : elles « montent la pente » le plus vite possible.
Le point rouge est le point $A$ : clique ou glisse sur la carte pour le déplacer. La grande flèche rouge est $\nabla f(A)$ ; le trait noir pointillé est la tangente à la ligne de niveau passant par $A$. La flèche orange $u$ est une direction que tu choisis avec le curseur du graphique suivant.

À observer : (1) la flèche rouge est toujours perpendiculaire au pointillé ; (2) là où les lignes de niveau sont serrées, la pente est forte et la flèche est longue ; (3) les billes coupent les lignes de niveau à angle droit ; (4) en un sommet, un creux ou un col, le gradient est nul.

Carte des lignes de niveau de $f$ et gradient $\nabla f$ (clique ou glisse pour déplacer le point $A$)

$f(x,y)=$ billes qui montent le long de $\nabla f$ flèches de $\nabla f$

📈 Comment lire le graphique ci-dessous On reste au point $A$ choisi sur la carte et on essaie différentes directions. Une direction est repérée par un angle $\theta$ en degrés, mesuré à partir de l'axe horizontal, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : $\theta=0°$ vers la droite, $90°$ vers le haut, $180°$ vers la gauche, $270°$ vers le bas. Le vecteur unitaire correspondant est $u=(\cos\theta,\sin\theta)$.

Règle l'angle avec le curseur (ou clique sur « Faire tourner ») : la direction choisie est dessinée sur la carte par une flèche orange partant de $A$.
Sur le graphique, l'axe horizontal porte l'angle $\theta$ (en degrés, de $0°$ à $360°$) et l'axe vertical la pente $D_uf(A)$ dans cette direction. Le point orange correspond à la flèche orange.
Le point rouge marque la pente la plus grande : la flèche orange a alors le sens de la flèche rouge $\nabla f(A)$, et la pente vaut $\|\nabla f(A)\|$. Le point bleu marque la pente la plus petite (sens de $-\nabla f(A)$).
Là où la courbe coupe l'axe horizontal, la pente est nulle : la flèche orange est alors le long du pointillé noir, c'est-à-dire de la ligne de niveau.

Pente $D_uf(A)$ selon l'angle $\theta$ de la direction $u$ (flèche orange sur la carte)

Angle $\theta$ : 30°

3. Règles de calcul

Propriété Pour $f,g$ différentiables, $\lambda\in\mathbb R$, $n\in\mathbb N^*$ et $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable : $$\nabla(f+\lambda g)=\nabla f+\lambda\nabla g,\qquad\boxed{\nabla(fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f},\qquad\boxed{\nabla(f^n)=n\,f^{n-1}\,\nabla f},$$ $$\nabla\Big(\frac fg\Big)=\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2},\qquad\nabla(\varphi\circ f)=\varphi'(f)\,\nabla f.$$

Exemple : $f(x,y)=x+y$ et $g(x,y)=xy$

Démonstration de $\nabla(fg)$

4. Gradients à connaître

$f(x)$ sur $\mathbb R^3$	$\nabla f(x)$	Idée
$\langle a,x\rangle$	$a$	forme linéaire : $df_x(h)=\langle a,h\rangle$	🔍 démonstration
$\\|x\\|^2$	$2x$	$\\|x+h\\|^2=\\|x\\|^2+2\langle x,h\rangle+\\|h\\|^2$	🔍 démonstration
$\\|x\\|$ ($x\neq0$)	$\dfrac{x}{\\|x\\|}$	$\sqrt{u}$ avec $u=\\|x\\|^2$ : $\frac{1}{2\sqrt u}\nabla u$	🔍 démonstration
$\langle a,x\rangle\langle b,x\rangle$	$\langle b,x\rangle a+\langle a,x\rangle b$	règle du produit	🔍 démonstration
$\\|a\wedge x\\|^2$	$2\\|a\\|^2x-2\langle a,x\rangle a$	Lagrange : $\\|a\wedge x\\|^2=\\|a\\|^2\\|x\\|^2-\langle a,x\rangle^2$	🔍 démonstration

👆 Clique sur une ligne du tableau pour voir la démonstration détaillée, en coordonnées.

Démonstration pour $\|a\wedge x\|^2$

Exemples numériques

5. Fonctions radiales et laplacien

Définition Le laplacien de $f:\mathbb R^3\to\mathbb R$ est $\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$.

Exemple : $f(x,y,z)=x^2y+z^3$

Propriété Soit $g(x)=f(\|x\|)$ avec $r=\|x\|\neq0$ : $$\nabla g=f'(r)\frac{x}{r},\qquad\langle x,\nabla g\rangle=r\,f'(r),\qquad x\wedge\nabla g=\vec0,\qquad\Delta g=f''(r)+\frac2r f'(r).$$ Le gradient d'une fonction radiale est radial : les lignes (surfaces) de niveau sont des cercles (sphères) centrés en $O$.

Démonstration du laplacien

Exemples : $g(x)=\|x\|^2$ et $g(x)=\dfrac{1}{\|x\|}$

Champ $\nabla g$ pour $g(x,y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$ (vue dans le plan)

$f(r)=$

6. Points critiques et extremums

Définition $a$ est un point critique de $f$ si $\nabla f(a)=\vec0$. Un extremum local (sur un ouvert) est toujours un point critique, mais la réciproque est fausse (point selle).

Classification (notations de Monge) En un point critique, on pose $r=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}$, $s=\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$, $t=\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}$ (matrice hessienne $\begin{pmatrix}r&s\\s&t\end{pmatrix}$) :

$rt-s^2>0$ et $r>0$ : minimum local ;
$rt-s^2>0$ et $r\lt 0$ : maximum local ;
$rt-s^2\lt 0$ : point selle (col) ;
$rt-s^2=0$ : on ne peut pas conclure avec l'ordre 2.

Raison : $f(a+h)\approx f(a)+\frac12\big(rh_1^2+2sh_1h_2+th_2^2\big)$ et le signe de cette forme quadratique est donné par $rt-s^2$ et $r$.

Exemple détaillé : $f(x,y)=x^3-3x+y^2-2y$

Exemple :

7. Parcours d'exercices

Les exercices vont du plus simple aux exercices de synthèse. Chaque exercice est tiré au hasard (🎲). Les niveaux marqués 🪜 se font pas à pas : chaque réponse juste débloque la question suivante, avec un indice 💡 et un bouton « Je bloque ». Valide un niveau (2 réussites ✓) avant de passer au suivant ; ta progression est mémorisée dans ce navigateur.

Calcul différentiel — webclasse.fr