🧰 Boîte à outils : vecteurs, applications linéaires, matrices, nabla

Les outils d'algèbre utilisés dans toutes les autres pages. À consulter dès qu'une notion te manque.

1. Vecteurs 2. Produit scalaire 3. Produit vectoriel 4. Applications linéaires 5. Matrices 6. Transposée, trace, déterminant 7. L'opérateur nabla 8. Exercices

1. Vecteurs de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$

Définition Un vecteur de $\mathbb R^3$ est un triplet de réels $u=(u_1,u_2,u_3)$, que l'on écrit aussi en colonne $\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$. On les additionne coordonnée par coordonnée et on les multiplie par un réel $\lambda$ coordonnée par coordonnée.

Exemple Pour $u=(1,-2,3)$ et $v=(4,0,-1)$ : $u+v=(1+4\ ;\ -2+0\ ;\ 3+(-1))=(5\ ;-2\ ;2)$ et $3u=(3\times1\ ;\ 3\times(-2)\ ;\ 3\times3)=(3\ ;-6\ ;9)$.
On note souvent $x=(x,y,z)$ le point courant de $\mathbb R^3$ : $x$ désigne alors à la fois le vecteur et ses coordonnées.

2. Produit scalaire et norme

Définition Le produit scalaire de $u=(u_1,u_2,u_3)$ et $v=(v_1,v_2,v_3)$ est le nombre $$\langle u,v\rangle=u_1\times v_1+u_2\times v_2+u_3\times v_3 .$$ La norme (longueur) de $u$ est $\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$.

Exemple détaillé : $u=(1,-2,3)$ et $v=(4,0,-1)$

Propriétés

$\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos\theta$ où $\theta$ est l'angle entre $u$ et $v$ ;
$u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si $\langle u,v\rangle=0$ ;
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\times\|v\|$ (car $|\cos\theta|\le1$) ;
le produit scalaire est bilinéaire et symétrique : $\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$, $\langle\lambda u,v\rangle=\lambda\langle u,v\rangle$, $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$.

3. Produit vectoriel (dans $\mathbb R^3$ seulement)

Définition $u\wedge v=\begin{pmatrix}u_2\times v_3-u_3\times v_2\\u_3\times v_1-u_1\times v_3\\u_1\times v_2-u_2\times v_1\end{pmatrix}$ : un vecteur orthogonal à $u$ et à $v$, de norme égale à l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$.

➡ Page dédiée Le produit vectoriel est traité en détail dans l'onglet Produit vectoriel (méthode animée, interprétation géométrique en 3D, propriétés, aire, équation de plan, double produit, identité de Lagrange, matrice de $v\mapsto a\wedge v$, parcours d'exercices).

4. Applications linéaires

Définition Une application $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ est linéaire si pour tous vecteurs $u,v$ et tout réel $\lambda$ : $$f(u+v)=f(u)+f(v)\qquad\text{et}\qquad f(\lambda u)=\lambda\,f(u).$$ Conséquence : $f(\vec0)=\vec0$. Si $m=1$, on parle de forme linéaire.

En coordonnées $f$ est linéaire si et seulement si chacune de ses coordonnées est une combinaison linéaire des variables, c'est-à-dire de la forme $a\times x+b\times y+c\times z$ : pas de constante, pas de produit $xy$, pas de puissance, pas de $\sin$, $\exp$…

Exemple : montrer que $f(x,y)=(2x+y\ ;\ x-3y)$ est linéaire

Contre-exemples

Exemples importants

$x\mapsto\langle a,x\rangle=a_1x+a_2y+a_3z$ ($a$ fixé) est une forme linéaire ;
$x\mapsto a\wedge x$ ($a$ fixé) est linéaire (bilinéarité du produit vectoriel) ;
$x\mapsto\|x\|$ et $x\mapsto\|x\|^2$ ne sont pas linéaires.

5. Matrices et applications linéaires

Définition (matrice d'une application linéaire) Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ linéaire et $e_1=(1,0,\dots,0)$, …, $e_n=(0,\dots,0,1)$ les vecteurs de base. La matrice de $f$ est le tableau à $m$ lignes et $n$ colonnes dont la $j$-ième colonne contient les coordonnées de $f(e_j)$.

Exemple détaillé : $f(x,y,z)=(x+2y-z\ ;\ 3x+4z)$

Produit matrice × vecteur Si $A$ a $m$ lignes et $n$ colonnes et $X\in\mathbb R^n$, la $i$-ème coordonnée de $AX$ est $a_{i1}\times x_1+a_{i2}\times x_2+\dots+a_{in}\times x_n$ (ligne $i$ de $A$ « scalaire » $X$).

Le lien fondamental Si $A$ est la matrice de $f$, alors $f(X)=AX$ pour tout $X$. Réciproquement, toute matrice définit une application linéaire $X\mapsto AX$. Application linéaire et matrice, c'est la même chose, vue de deux façons.

Exemple : calcul de $AX$ (avec la matrice précédente)

Composition et produit Si $f$ a pour matrice $A$ et $g$ a pour matrice $B$, alors $g\circ f$ a pour matrice $B\times A$ (attention à l'ordre). C'est ce qui donnera la règle de la chaîne $J_{F\circ G}=J_F\times J_G$.

Exemple : produit de deux matrices

6. Transposée, trace, déterminant

Définitions Pour une matrice carrée $A=(a_{ij})$ :

la transposée $A^T$ s'obtient en échangeant lignes et colonnes : $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ ; elle vérifie $\langle AX,Y\rangle=\langle X,A^TY\rangle$ ; $A$ est symétrique si $A^T=A$ ;
la trace est la somme des coefficients diagonaux : $\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$ ;
le déterminant : $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\times d-b\times c$ ; en dimension 3, règle de Sarrus. $A$ est inversible si et seulement si $\det A\neq0$.

Exemple détaillé : $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&1\\2&0&4\end{pmatrix}$

7. L'opérateur nabla $\nabla$

Définition On note $\nabla$ (« nabla ») le « vecteur » des dérivées partielles : $$\nabla=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial}{\partial x}\\[2mm]\dfrac{\partial}{\partial y}\\[2mm]\dfrac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}.$$ Ce n'est pas un vrai vecteur mais un opérateur : il attend une fonction à dériver. On le manipule comme un vecteur, ce qui donne trois opérations :

Écriture	Comme…	Nom	Résultat	Formule
$\nabla f$	vecteur × nombre	gradient	un vecteur	$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\,;\frac{\partial f}{\partial y}\,;\frac{\partial f}{\partial z}\right)$
$\nabla\cdot F$	produit scalaire	divergence	un nombre	$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
$\nabla\wedge F$	produit vectoriel	rotationnel	un vecteur	$\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\,;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\,;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$
$\nabla\cdot\nabla f=\Delta f$	norme au carré	laplacien	un nombre	$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

Le point dans « $\nabla\cdot F$ » est la notation traditionnelle du produit scalaire avec nabla ; ce n'est pas une multiplication de nombres.

Exemple détaillé avec $f(x,y,z)=x^2y+z^3$ et $F(x,y,z)=(xy\ ;\ yz\ ;\ zx)$

8. Exercices

Calcul différentiel — webclasse.fr