✖️ Le produit vectoriel

Un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés : calcul, géométrie, applications. Il sert à définir le rotationnel.

1. Pourquoi ?2. Définition et calcul 3. Interprétation géométrique 4. Propriétés 5. Applications 6. L'application v ↦ a ∧ v 7. Double produit, Lagrange 8. Exercices

1. Pourquoi un produit vectoriel ?

Dans l'espace, on a souvent besoin d'un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés $u$ et $v$ : pour trouver un vecteur normal à un plan, pour calculer une aire, pour décrire une rotation autour d'un axe (vitesse $\omega\wedge v$ d'un point d'un solide en rotation), un moment de force en physique… Le produit vectoriel fabrique ce vecteur, avec une longueur qui mesure « l'écart » entre $u$ et $v$. Attention : il n'existe que dans $\mathbb R^3$.

2. Définition et calcul

Définition Le produit vectoriel de $u=(u_1,u_2,u_3)$ et $v=(v_1,v_2,v_3)$ est le vecteur $$u\wedge v=\begin{pmatrix}u_2\times v_3-u_3\times v_2\\u_3\times v_1-u_1\times v_3\\u_1\times v_2-u_2\times v_1\end{pmatrix}.$$

🛠 Moyen mnémotechnique : « cacher une ligne » On écrit $u$ et $v$ côte à côte en colonnes. Pour la 1re coordonnée, on cache la 1re ligne et on calcule le déterminant $2\times2$ des deux lignes restantes (produit en croix). Pour la 2e, on cache la 2e ligne et on prend l'opposé du déterminant. Pour la 3e, on cache la 3e ligne. L'animation ci-dessous le montre sur un exemple.

Exemple détaillé : $u=(1,2,3)$ et $v=(4,5,6)$

3. Interprétation géométrique

Propriété (caractérisation géométrique) Si $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires, $u\wedge v$ est l'unique vecteur tel que :

direction : $u\wedge v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ (donc au plan qu'ils engendrent) ;
sens : $(u,v,u\wedge v)$ est directe (règle de la main droite : pouce $u$, index $v$, majeur $u\wedge v$) ;
norme : $\|u\wedge v\|=\|u\|\times\|v\|\times\sin\theta$, où $\theta\in[0,\pi]$ est l'angle entre $u$ et $v$ : c'est l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$.

Si $u$ et $v$ sont colinéaires, $u\wedge v=\vec 0$.

$u$ (bleu), $v$ (vert) et $u\wedge v$ (rouge), perpendiculaire au parallélogramme violet (glisser pour tourner)

afficher $v\wedge u$ à la place

Exemple : les vecteurs de base $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$

4. Propriétés de calcul

Propriétés Pour tous vecteurs $u,v,w$ de $\mathbb R^3$ et tout réel $\lambda$ :

antisymétrie : $v\wedge u=-\,u\wedge v$ ; en particulier $u\wedge u=\vec 0$ ;
colinéarité : $u\wedge v=\vec0\iff u$ et $v$ sont colinéaires ;
bilinéarité : $(u+v)\wedge w=u\wedge w+v\wedge w$, $\ u\wedge(v+w)=u\wedge v+u\wedge w$, $\ (\lambda u)\wedge v=u\wedge(\lambda v)=\lambda\,(u\wedge v)$ ;
orthogonalité : $\langle u\wedge v,u\rangle=\langle u\wedge v,v\rangle=0$ ;
pas d'associativité : en général $(u\wedge v)\wedge w\neq u\wedge(v\wedge w)$.

Exemples avec $u=(1,2,3)$, $v=(4,5,6)$, $w=(2,4,6)$

5. Applications

Aire d'un triangle : $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,3)$

Équation du plan passant par ces trois points

6. L'application linéaire $v\mapsto a\wedge v$

Propriété Pour $a=(a_1,a_2,a_3)$ fixé, $f(v)=a\wedge v$ est linéaire (bilinéarité), de matrice $$\begin{pmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{pmatrix}\qquad\text{(matrice antisymétrique).}$$ En mécanique, c'est le champ des vitesses d'un solide qui tourne autour de l'axe $a$ ; son rotationnel vaut $2a$ et sa divergence $0$ (voir les pages Rotationnel et Divergence).

Exemple détaillé : $a=(1,2,3)$

7. Double produit vectoriel et identité de Lagrange

Formules $$u\wedge(v\wedge w)=\langle u,w\rangle\,v-\langle u,v\rangle\,w\qquad\qquad \|u\wedge v\|^2+\langle u,v\rangle^2=\|u\|^2\,\|v\|^2.$$ La deuxième (identité de Lagrange) traduit $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$.

Exemple : vérifier le double produit vectoriel avec $u=(1,0,2)$, $v=(0,1,1)$, $w=(1,1,0)$

Identité de Lagrange : exemple puis démonstration

8. Parcours d'exercices

Calcul différentiel — webclasse.fr