💧 La divergence

Mesurer ce qui « sort » d'un champ de vecteurs : sources et puits.

🧭 Avant de commencer Un champ de vecteurs associe un vecteur à chaque point : par exemple $F(x,y)=(-y\,;x)$ associe au point $(2,1)$ le vecteur $(-1\,;2)$. On le dessine par des flèches. Les calculs ne demandent que des dérivées partielles.

1. Intuition 2. Définition 3. Formules 4. Champs classiques 5. Exercices

1. Intuition : un fluide qui s'écoule

Un champ de vecteurs $F$ peut représenter la vitesse d'un fluide. Plaçons un petit cercle dans l'écoulement et comptons ce qui en sort moins ce qui y entre : c'est le flux sortant. Flèches rouges : le fluide sort ; bleues : il entre. Dans l'animation, la couleur de fond indique le signe de la divergence en chaque point : rose/rouge là où $\operatorname{div}F>0$ (sources), bleu là où $\operatorname{div}F\lt 0$ (puits), blanc là où elle est nulle. Clique ou glisse pour déplacer le cercle.

Le vecteur $n$ et le produit $\langle F,n\rangle$ En chaque point $P$ du cercle de centre $M$ et de rayon $r$, on note $n$ le vecteur normal unitaire sortant : il part de $P$, il est perpendiculaire au cercle, il pointe vers l'extérieur et il a pour longueur $1$. Concrètement, $n=\dfrac{1}{r}\overrightarrow{MP}$.

Le produit scalaire $\langle F(P),n\rangle$ (noté aussi $F\cdot n$) mesure la part de $F$ qui traverse le cercle en $P$ : il est positif si le fluide sort (flèche rouge), négatif s'il entre (flèche bleue), nul si $F$ longe le cercle.
Le flux sortant est la somme de ces contributions le long du cercle, chacune multipliée par la longueur du petit morceau d'arc $\Delta s$ : $\text{flux}\approx\sum\langle F(P_k),n_k\rangle\times\Delta s$, c'est-à-dire $\displaystyle\oint\langle F,n\rangle\,ds$.

Exemple. Pour $F(x,y)=(x,y)$ et le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ : en $P=(x,y)$, $n=\dfrac1r(x,y)$, donc $\langle F,n\rangle=\dfrac{x\times x+y\times y}{r}=\dfrac{r^2}{r}=r$. Le flux vaut $r\times(\text{longueur du cercle})=r\times2\pi r=2\pi r^2$, et flux ÷ aire $=\dfrac{2\pi r^2}{\pi r^2}=2=\operatorname{div}F$.

Champ : rayon

💡 Ce qu'il faut observer Quand on diminue le rayon, le flux tend vers 0, mais flux ÷ aire se stabilise : cette limite est la divergence au centre du cercle. Le tourbillon et l'étirement ont une divergence nulle : il entre autant de fluide qu'il en sort (fluide incompressible).

2. Définition

Commençons dans le plan Pour $F(x,y)=(P\,;Q)$, $\operatorname{div}F=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}$ : chaque composante est dérivée par rapport à « sa » variable.

Définition Pour un champ $F=(F_1,\dots,F_n)$ différentiable sur $\mathbb R^n$ : $$\operatorname{div}F=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\cdots+\frac{\partial F_n}{\partial x_n}=\operatorname{tr}J_F .$$ Dans $\mathbb R^3$ avec $F=(P,Q,R)$ : $\operatorname{div}F=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}=\langle\nabla,F\rangle$ (notation « $\nabla\cdot F$ »).

🧰 Nabla et trace $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}\,;\frac{\partial}{\partial y}\,;\frac{\partial}{\partial z}\right)$ est le « vecteur » des dérivées partielles (voir Boîte à outils §7). $\nabla\cdot F$ se calcule comme un produit scalaire : chaque dérivée agit sur la coordonnée de même rang, puis on additionne. La trace $\operatorname{tr}J$ d'une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux (§6).

Exemple 1 (détaillé) : calcul de $\operatorname{div}F$ pour $F(x,y,z)=(x^2y\ ;\ yz\ ;\ xz^2)$

Exemple 2 : le même calcul avec la notation $\nabla\cdot F$

Interprétation $\operatorname{div}F(M)=\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\text{flux de }F\text{ sortant de la sphère (du cercle) de centre }M\text{ et de rayon }\varepsilon}{\text{volume (aire) de la boule}}$.
$\operatorname{div}F(M)>0$ : source ; $\lt 0$ : puits ; $=0$ partout : champ conservatif (incompressible).

Exemple 3 : $\operatorname{div}F=\operatorname{tr}J_F$, pour le même champ, au point $M=(1,2,-1)$

3. Formules utiles

Propriétés Pour $\varphi:\mathbb R^3\to\mathbb R$ et $F,G:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ différentiables :

$\operatorname{div}x=3$ (en dimension $n$ : $n$) ;
$\boxed{\operatorname{div}(\varphi F)=\varphi\operatorname{div}F+\langle\nabla\varphi,F\rangle}$ ;
$\boxed{\operatorname{div}(F\wedge G)=\langle G,\operatorname{rot}F\rangle-\langle F,\operatorname{rot}G\rangle}$ ;
$\operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0$ et $\operatorname{div}(\nabla\varphi)=\Delta\varphi$.

Exemple : vérifier $\operatorname{div}(\varphi F)=\varphi\operatorname{div}F+\langle\nabla\varphi,F\rangle$ avec $\varphi=xy$ et $F=(x\ ;y\ ;z)$

Démonstration de $\operatorname{div}(F\wedge G)$

4. Quatre champs classiques

$F(x)$	Matrice jacobienne $J_F$	$\operatorname{div}F$
$x\,\\|x\\|$	$\\|x\\|\,I_3+\dfrac{x\,x^T}{\\|x\\|}$	$4\\|x\\|$
$x\,\langle a,x\rangle$	$\langle a,x\rangle I_3+x\,a^T$	$4\langle a,x\rangle$
$a\wedge x$	$\begin{pmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{pmatrix}$	$0$
$x\wedge(a\wedge x)=\\|x\\|^2a-\langle a,x\rangle x$	$2\,a\,x^T-\langle a,x\rangle I_3-x\,a^T$	$-2\langle a,x\rangle$

Rappel : $x\,a^T$ est la matrice de coefficients $x_ia_j$ ; sa trace vaut $\langle a,x\rangle$. La divergence est la trace de la jacobienne : on la lit directement dans le tableau.

Exemple détaillé : $F(x)=a\wedge x$ avec $a=(1,2,3)$

5. Parcours d'exercices

Les exercices vont du plus simple aux exercices de synthèse. Chaque exercice est tiré au hasard (🎲). Les niveaux marqués 🪜 se font pas à pas : chaque réponse juste débloque la question suivante, avec un indice 💡 et un bouton « Je bloque ». Valide un niveau (2 réussites ✓) avant de passer au suivant ; ta progression est mémorisée dans ce navigateur.

Calcul différentiel — webclasse.fr