🌀 Le rotationnel
Mesurer la tendance d'un champ à faire tourner : la roue à aubes.
🧭 Avant de commencer Commence par la page Divergence : on y présente les champs de vecteurs et les fluides. Ici encore, tout se calcule avec des dérivées partielles.
1. Intuition : une roue à aubes dans le courant
Plaçons une petite roue à aubes dans l'écoulement. Elle tourne si le courant est plus fort d'un côté que de l'autre. Sa vitesse angulaire vaut $\omega=\frac12\operatorname{rot}F$ : sens direct (anti-horaire) si $\operatorname{rot}F>0$. Dans l'animation, la couleur de fond indique le signe du rotationnel en chaque point (rouge $>0$, bleu $\lt 0$, blanc : nul). Clique ou glisse pour déplacer la roue (l'aube rouge permet de suivre la rotation).
💡 Deux surprises à vérifier avec l'animation
- Cisaillement $(y,0)$ : toutes les particules vont tout droit, et pourtant la roue tourne (sens horaire) ! Le courant est plus rapide en haut qu'en bas.
- Vortex $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ : les particules tournent autour de $O$, mais la roue ne tourne pas sur elle-même (hors de l'origine, $\operatorname{rot}F=0$) : elle fait le tour comme une grande roue dont les nacelles restent droites.
2. Définition
Commençons dans le plan Pour $F(x,y)=(P\,;Q)$, $\operatorname{rot}F=\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}$ : on croise les dérivées (contrairement à la divergence).
Définition Pour $F=(P,Q,R):\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ différentiable :
$$\operatorname{rot}F=\nabla\wedge F=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}P\\Q\\R\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\\[2mm]\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\\[2mm]\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\end{pmatrix}.$$
Pour un champ plan $F=(P,Q)$, on identifie $F$ à $(P,Q,0)$ : seule reste la composante $\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}$.
🧰 Pourquoi $\nabla\wedge F$ ? On fait le produit vectoriel du « vecteur » $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}\,;\frac{\partial}{\partial y}\,;\frac{\partial}{\partial z}\right)$ par $F=(P,Q,R)$, avec la méthode « cacher une ligne » : pour la 1re coordonnée, on cache la 1re ligne et il reste $\frac{\partial}{\partial y}R-\frac{\partial}{\partial z}Q$, etc. « Multiplier » par $\frac{\partial}{\partial y}$ veut dire dériver par rapport à $y$.
Exemple détaillé : $F(x,y,z)=(yz^2\ ;\ x^2z\ ;\ xy)$
🛠 Méthode : tout lire dans la jacobienne
On écrit $J_F$ (ligne = $P,Q,R$ ; colonne = $\partial_x,\partial_y,\partial_z$). Chaque composante du rotationnel est une différence de deux termes symétriques par rapport à la diagonale :
$\operatorname{rot}F=(J_{32}-J_{23}\ ;\ J_{13}-J_{31}\ ;\ J_{21}-J_{12})$. Si $J_F$ est symétrique, $\operatorname{rot}F=\vec0$.
Exemple animé $F(x,y,z)=(yz^2\ ;\ x^2z\ ;\ xy)$ au point $M=(1,-1,2)$.
3. Identités vectorielles
Propriétés Pour $\varphi$ scalaire et $F,G$ champs de classe $C^2$ sur $\mathbb R^3$ :
- $\operatorname{rot}(\nabla\varphi)=\vec0$ et $\operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0$ (lemme de Schwarz) ;
- $\operatorname{rot}(\varphi F)=\varphi\operatorname{rot}F+\nabla\varphi\wedge F$ ;
- a) $\nabla\langle F,G\rangle=J_F^{\,T}G+J_G^{\,T}F=(F\cdot\nabla)G+(G\cdot\nabla)F+F\wedge\operatorname{rot}G+G\wedge\operatorname{rot}F$ ;
- b) $\operatorname{div}(F\wedge G)=\langle G,\operatorname{rot}F\rangle-\langle F,\operatorname{rot}G\rangle$ ;
- c) $\operatorname{rot}(F\wedge G)=F\operatorname{div}G-G\operatorname{div}F+(G\cdot\nabla)F-(F\cdot\nabla)G$ ;
- d) $\operatorname{rot}(\operatorname{rot}F)=\nabla(\operatorname{div}F)-\Delta F$ ($\Delta F$ : laplacien de chaque composante).
Exemple : vérifier $\operatorname{rot}(\nabla f)=\vec0$ pour $f(x,y,z)=x^2y+yz$
a) Démonstration de $\nabla\langle F,G\rangle$
d) Démonstration de $\operatorname{rot}(\operatorname{rot}F)$ (première composante)
c) Démonstration de $\operatorname{rot}(F\wedge G)$ (première composante)
4. Quatre champs classiques
| $F(x)$ | $\operatorname{rot}F$ | Calcul |
|---|---|---|
| $x\,\|x\|$ | $\vec0$ | $\|x\|\operatorname{rot}x+\frac{x}{\|x\|}\wedge x=\vec0$ (champ radial) |
| $x\,\langle a,x\rangle$ | $a\wedge x$ | $\langle a,x\rangle\operatorname{rot}x+a\wedge x$ |
| $a\wedge x$ | $2a$ | rotation solide d'axe $a$ |
| $x\wedge(a\wedge x)$ | $3\,x\wedge a$ | $=\|x\|^2a-\langle a,x\rangle x$ : $2x\wedge a-a\wedge x$ |
Exemple détaillé : $F(x)=a\wedge x$ avec $a=(1,2,3)$
5. Parcours d'exercices
Les exercices vont du plus simple aux exercices de synthèse. Chaque exercice est tiré au hasard (🎲). Les niveaux marqués 🪜 se font pas à pas : chaque réponse juste débloque la question suivante, avec un indice 💡 et un bouton « Je bloque ». Valide un niveau (2 réussites ✓) avant de passer au suivant ; ta progression est mémorisée dans ce navigateur.
Calcul différentiel — webclasse.fr