Approcher une fonction de plusieurs variables par une application linéaire.
🧭 Avant de commencer Cette page utilise sans cesse les dérivées partielles : si tu ne sais pas encore calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$ pour $f(x,y)=3x^2y-2x$, commence par l'étape 1 « Dérivées partielles » et fais au moins les niveaux 1 à 8 de son parcours. Ordre conseillé ensuite : Gradient (§1 et §2) → Différentielle → Gradient (suite) → Divergence → Rotationnel.
En première, on a vu que si $f$ est dérivable en $a$ : $f(a+h)=f(a)+f'(a)\,h+h\,\varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h)\to0$.
Autrement dit, quand on zoome sur la courbe, elle ressemble de plus en plus à sa tangente. Lance le zoom :
Zoom sur la courbe de $f(x)=\sin(2x)+0{,}3x^2$ au point $a$
💡 L'idée à retenir
En plusieurs variables, la tangente devient un plan tangent (ou plus généralement une application affine) et le nombre $f'(a)$ devient une application linéaire $df_a$ : c'est la différentielle.
2. Définition
Définition (différentiabilité)
Soit $f:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ et $a\in U$ ($U$ ouvert). On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ telle que
$$f(a+h)=f(a)+L(h)+\|h\|\,\varepsilon(h)\qquad\text{avec }\varepsilon(h)\xrightarrow[h\to0]{}0.$$
$L$ est alors unique ; on la note $df_a$ et on l'appelle différentielle de $f$ en $a$.
🛠 Méthode « développer $f(a+h)$ »
On écrit $f(a+h)$ et on développe.
On range les termes : la constante $f(a)$, les termes linéaires en $h$ (c'est $df_a(h)$), et le reste.
On vérifie que le reste est un $o(\|h\|)$ (typiquement : il est de degré $\ge2$ en $h$).
Exemple : $f(x,y)=x^2y$ en $a=(x,y)$
3. Plan tangent et dérivées partielles
Pour $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, le graphe $z=f(x,y)$ est une surface. Si $f$ est différentiable en $(a,b)$, le plan tangent est le graphe de
$z=f(a,b)+df_{(a,b)}(x-a,\,y-b)$. Coche les options, déplace le point, puis zoome : la surface devient plate !
Définition (dérivées partielles)
$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ est la dérivée en $a$ de la fonction d'une variable $x\mapsto f(x,b)$ : on fige $y=b$ et on dérive en $x$ (coupe orange).
De même $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ est la dérivée de $y\mapsto f(a,y)$ (coupe verte). Ce sont les pentes des deux tangentes en pointillés.
Propriété
Si $f$ est différentiable en $a$, alors elle admet des dérivées partielles et
$$df_a(h)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i=\langle\nabla f(a),h\rangle .$$
Réciproquement, si les dérivées partielles existent et sont continues au voisinage de $a$ ($f$ de classe $C^1$), alors $f$ est différentiable en $a$.
4. Dérivée directionnelle
Définition
La dérivée de $f$ en $a$ dans la direction $h$ est
$\displaystyle D_hf(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+th)-f(a)}{t}$ (quand elle existe).
Les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles selon les vecteurs de base.
Propriété Si $f$ est différentiable en $a$ : $D_hf(a)=df_a(h)$. En particulier $h\mapsto D_hf(a)$ est linéaire.
⚠ Attention La réciproque est fausse : une fonction peut avoir des dérivées dans toutes les directions sans être différentiable. Le contre-exemple du §5 le montre.
Exemple détaillé : $f(x,y)=x^2y$, $A=(1,2)$, $h=(3,-1)$
5. Un contre-exemple animé
$f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$, $f(0,0)=0$. Sur les axes, $f$ est nulle, donc $\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$.
Si $f$ était différentiable, on aurait $D_uf(0,0)=0$ pour tout $u$. Regardons $\theta\mapsto D_{u_\theta}f(0,0)$ avec $u_\theta=(\cos\theta,\sin\theta)$ :
La surface (pliée en 0)
$D_{u_\theta}f(0,0)=\cos\theta\sin^2\theta$
La courbe orange n'est pas identiquement nulle : $h\mapsto D_hf(0,0)$ n'est pas linéaire, $f$ n'est pas différentiable en $0$ (pourtant elle est continue et a toutes ses dérivées directionnelles).
6. Applications linéaires et formes quadratiques
🧰 Rappel Définition d'une application linéaire, matrice d'une application linéaire, transposée : voir la Boîte à outils §4-6.
Propriété Une application linéaire $A$ est différentiable en tout point et $dA_x=A$ : en effet $A(x+h)=A(x)+A(h)+0$.
Sa différentielle ne dépend pas du point : « la meilleure approximation linéaire d'une application linéaire, c'est elle-même ».
Exemple : $A(x,y)=(x+2y\ ;\ 3y)$
Propriété Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ :
$f(x)=\langle Ax,x\rangle$ : $df_x(h)=\langle Ax,h\rangle+\langle Ah,x\rangle=\langle(A+A^{T})x,h\rangle$, donc $\nabla f(x)=(A+A^{T})x$ ($=2Ax$ si $A$ est symétrique).
$g(x)=\|Ax\|^2$ : $dg_x(h)=2\langle Ax,Ah\rangle$, donc $\nabla g(x)=2A^{T}Ax$.
$h(x)=\langle Ax,x\rangle^2=f(x)^2$ : $dh_x=2f(x)\,df_x$, donc $\nabla h(x)=2\langle Ax,x\rangle(A+A^{T})x$.
Démonstration pas à pas pour $f(x)=\langle Ax,x\rangle$
Exemple numérique : $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ et $f(x,y)=\langle Ax,x\rangle$
Définition Pour $F=(F_1,\dots,F_m):\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, la matrice de $dF_a$ est la matrice jacobienne
$$J_F(a)=\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(a)\right)_{1\le i\le m,\ 1\le j\le n}\qquad\text{(ligne $i$ = gradient de $F_i$).}$$
Si $n=m$, son déterminant est le jacobien.
Exemple détaillé : $F(x,y)=(x^2y\ ;\ x+3y)$
Règle de la chaîne $d(F\circ G)_a=dF_{G(a)}\circ dG_a$, soit $J_{F\circ G}(a)=J_F\big(G(a)\big)\times J_G(a)$.
Exemple détaillé : $F(x_1,x_2)=(x_1x_2\ ;\ x_1+x_2)$, $G(y_1,y_2)=(y_1^2\ ;\ y_1y_2)$ en $y=(1,2)$
Théorème d'inversion locale Si $\varphi:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ est $C^1$ et $\det J_\varphi(a)\neq0$, alors $\varphi$ réalise une bijection d'un voisinage de $a$ sur un voisinage de $\varphi(a)$, d'inverse $C^1$.
Exemple : $\varphi(u,v)=(u^2-v^2\ ;\ 2uv)$
Interprétation géométrique : $\varphi$ déforme le plan ; un petit carré est envoyé (presque) sur le parallélogramme construit par $J_\varphi$, d'aire multipliée par $|\det J_\varphi|$. Clique pour placer le carré rouge, puis déforme :
Pointillés violets : image du carré par l'application linéaire tangente $J_\varphi$. Remarque : en $(0,0)$ pour les deux premières applications, le jacobien est nul et le carré est « écrasé ».
8. Parcours d'exercices
Les exercices vont du plus simple aux exercices de synthèse. Chaque exercice est tiré au hasard (🎲). Les niveaux marqués 🪜 se font pas à pas : chaque réponse juste débloque la question suivante, avec un indice 💡 et un bouton « Je bloque ». Valide un niveau (2 réussites ✓) avant de passer au suivant ; ta progression est mémorisée dans ce navigateur.